Calcule a integral fazendo a substituição dada.
int sec a theta tg a theta d theta, u=a theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral sec(atheta),tan(atheta),dtheta
usando a substituição u = atheta. Vamos aplicar método de substituição e usar o fato de que a derivada de sec(u) é sec(u)tan(u).

Passo 2

Definimos
u = atheta
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du = a,dtheta implies dtheta = dua
Substituindo na integral, obtemos
integral sec(atheta)tan(atheta),dtheta = integral sec(u)tan(u),dua = 1aintegral sec(u)tan(u),du

Passo 3

Como
ddusec(u)=sec(u)tan(u),
temos
integral sec(u)tan(u),du=sec(u)+C

Passo 4

Voltando à variável original ( u=atheta), concluímos
integral sec(atheta)tan(atheta),dtheta =1asec(atheta)+C

Resposta

1asec(atheta)+C

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