Calcule a integral indefinida.
int(2 x+1)(x^2+x+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral (2x+1)(x^2+x+1)^3,dx. Esse tipo de integral é clássico para aplicar o método de substituição (inversão da regra da cadeia), pois vemos uma função composta elevada a uma potência e a sua derivada aparente.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x^2 + x + 1, temos
du = (2x + 1),dx
Isso significa que o diferencial (2x+1),dx no integrando pode ser trocado por du, e o termo (x^2+x+1)^3 passa a ser u^3.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, fica
integral (2x+1)(x^2+x+1)^3,dx = integral u^3,du
Agora basta integrar u^3 em relação a u.

Passo 4

Calculando em u:
integral u^3,du = u^44 + C
Voltando à variável original x (onde u = x^2 + x + 1), chegamos à antiderivada final.

Resposta

(x^2+x+1)^44 + C

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