Teste a série quanto a convergência ou divergência. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n^{2}}}\
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n^{2}}}.
O conteúdo principal é análise de séries numéricas, e vamos usar o critério da razão (teste da razão), que é indicado quando aparecem fatoriais e exponenciais.
Passo 2
O critério da razão diz que, dadas as parcelas a_n, se
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe e L<1, então a série \sum a_nconverge absolutamente. Se L>1, diverge, e se L=1, o teste é inconclusivo.