Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n^{2}}}\

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n^{2}}}.
O conteúdo principal é análise de séries numéricas, e vamos usar o critério da razão (teste da razão), que é indicado quando aparecem fatoriais e exponenciais.

Passo 2

O critério da razão diz que, dadas as parcelas a_n, se
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente. Se L>1, diverge, e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Neste caso temos
a_n = \frac{n!}{e^{n^2}},
logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{e^{(n+1)^2}}}{\frac{n!}{e^{n^2}}} = (n+1)\,e^{\,n^2 - (n+1)^2}.

Passo 4

Simplificando o expoente, n^2 - (n+1)^2 = -2n-1. Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)\,e^{-2n-1}.
Agora calculamos o limite:
L = \lim_{n\to\infty} (n+1)\,e^{-2n-1}.
Como e^{2n} cresce muito mais rápido que n+1, esse limite vale 0.

Passo 5

Como L=0<1, pelo critério da razão a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n^{2}}}
converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

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