Calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{sec} 2 x \operatorname{tg} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sec}(2x)\,\tan(2x)\,dx.
Este problema envolve integração de funções trigonométricas, em particular reconhecer que a derivada de \operatorname{sec}(u) é \operatorname{sec}(u)\tan(u), e usar substituição de variável.

Passo 2

Definimos u = 2x. Então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \tfrac12\,du.
Substituindo na integral original:
\int \operatorname{sec}(2x)\,\tan(2x)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,\frac12\,du = \frac12 \int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sec}(u)\bigr) = \operatorname{sec}(u)\,\tan(u),
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\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \operatorname{sec}(u) + C.
Portanto,
\frac12 \int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \frac12\,\operatorname{sec}(u) + C.
Voltando à variável x (ou seja, u=2x), obtemos
\frac12\,\operatorname{sec}(2x) + C.

Resposta

\displaystyle \frac12\,\operatorname{sec}(2x) + C

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