Calcule a integral fazendo a substituição u=g(x) e d u=g^prime(x) d x.
integral (1+raizx)^1 / 3raizx d x, u=1+raizx

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral integral (1+raizx)^1/3raizx , dx, usando a substituição u = 1 + raizx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com o método de substituição. Para resolver, vamos precisar expressar dx em termos de du e substituir na integral original.

Passo 2

Primeiro, definimos u = 1 + raizx. Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x para determinar du:
du = ddx(1 + raizx) , dx = 12raizx , dx

Passo 3

Queremos isolar dx na equação acima para substituir na integral. Então, rearranjamos a equação para obter:
dx = 2raizx , du

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral (1+raizx)^1/3raizx , dx = integral u^1/3raizx cdot 2raizx , du
Aqui, raizx no numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral para:
integral 2u^1/3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 2u^1/3 em relação a u. Lembre-se que a integral de u^n é u^n+1n+1, então:
2 integral u^1/3 , du = 2 cdot u^4/34/3 + C = 32u^4/3 + C

Passo 6

Por último, substituímos u = 1 + raizx de volta na expressão para obter a resposta final:
32(1 + raizx)^4/3 + C

Resposta

A integral é igual a 32(1 + raizx)^4/3 + C.

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