Calcule a integral fazendo a substituição u=g(x) e d u=g^prime(x) d x.
integral 2 x(x^2+5)^-4 d x, u=x^2+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2x(x^2+5)^-4 dx usando a substituição u = x^2 + 5. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando o método de substituição para simplificar a integral. Para isso, precisamos identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável u e ajustar du de acordo.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição u = x^2 + 5. Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = ddx(x^2 + 5) dx = 2x , dx
Isso significa que 2x , dx = du.

Passo 3

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral 2x (x^2+5)^-4 dx = integral u^-4 du
Aqui, a integral ficou muito mais simples, pois agora é uma função de u que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Vamos integrar u^-4 em relação a u:
integral u^-4 du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
-13u^3 + C = -13(x^2 + 5)^3 + C

Resposta

A integral integral 2x(x^2+5)^-4 dx é igual a -13(x^2 + 5)^3 + C.

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