Calcule a integral fazendo a substituição u=g(x) e d u=g^prime(x) d x.
integral 4 x^3(x^4+1)^2 d x, u=x^4+1

Passo 1

Ok, vamos resolver essa integral usando substituição. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma nova variável u .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que vamos substituir. Olhando para a integral integral 4 x^3(x^4+1)^2 , dx , vemos que x^4 + 1 está no denominador e sua derivada está relacionada ao numerador. Então, vamos definir:
u = x^4 + 1
Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du :
du = ddx(x^4 + 1) , dx = 4x^3 , dx
Isso significa que:
4x^3 , dx = du

Passo 3

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral 4 x^3(x^4+1)^2 , dx = integral duu^2
A integral integral 1u^2 , du é uma integral básica que sabemos resolver.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du
A antiderivada de u^-2 é:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = x^4 + 1 de volta, temos:
-1x^4 + 1 + C

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