Calcule a integral fazendo a substituição u=g(x) e d u=g^prime(x) d x.
integral x sen(2 x^2) d x, u=2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular integral x sin(2 x^2) dx usando substituição u = 2x^2. Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais e substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição que nos foi dada: u = 2x^2. A ideia aqui é simplificar a integral trocando a variável x por u.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando:
dudx = 4x Rightarrow du = 4x , dx
Isso significa que:
dx = du4x

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral x sin(2x^2) dx = integral x sin(u) cdot du4x

Passo 5

Os x no numerador e denominador se cancelam:
integral x sin(u) cdot du4x = 14 integral sin(u) du

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
14 integral sin(u) du
Sabemos que a integral de sin(u) é -cos(u), então:
14 integral sin(u) du = 14 (-cos(u)) + C

Passo 7

Por fim, substituímos u = 2x^2 de volta na expressão:
14 (-cos(2x^2)) + C = -14 cos(2x^2) + C

Resposta

A integral integral x sin(2 x^2) dx é igual a -14 cos(2x^2) + C, onde C é a constante de integração.

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