Obtenha todas as derivadas de f se:
f(x)=x^5+2 x^3+x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas de f(x)=x^5+2x^3+x^2+1. Como é um polinômio, vamos usar a regra-poder:
se ;g(x)=x^n, então
g'(x)=n,x^n-1

Passo 2

Aplicando a regra-poder termo a termo para obter f'(x):
ddxl(x^5r)=5x^4, ddxl(2x^3r)=2cdot3x^2=6x^2, ddxl(x^2r)=2x, ddx(1)=0
Logo,
f'(x)=5x^4+6x^2+2x

Passo 3

Para f''(x) derivamos novamente cada termo de f'(x):
ddxl(5x^4r)=20x^3, ddxl(6x^2r)=12x, ddxl(2xr)=2
Portanto,
f''(x)=20x^3+12x+2

Passo 4

Agora f'''(x):
ddxl(20x^3r)=60x^2, ddxl(12xr)=12, ddx(2)=0
Então
f'''(x)=60x^2+12

Passo 5

Para a quarta derivada f''''(x):
ddxl(60x^2r)=120x, ddx(12)=0
Logo
f''''(x)=120x

Passo 6

A quinta derivada f'''''(x) vem de
ddxl(120xr)=120
Então
f'''''(x)=120

Passo 7

Qualquer derivada de ordem superior a 5 de um polinômio de grau 5 é zero. Assim,
f''''''(x)=0, f^(7)(x)=0,;dots

Resposta

f(x)=x^5+2x^3+x^2+1
f'(x)=5x^4+6x^2+2x
f''(x)=20x^3+12x+2
f'''(x)=60x^2+12
f''''(x)=120x
f'''''(x)=120
f''''''(x)=0

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