(a) Encontre a massa e o centro de massa de uma placa fina com a forma de uma região D limitada pelas curvas x=y^2 e x=2 y-y^2 se a densidade no ponto (x, y) for rho(x, y)=y+1.
(b) Supondo agora que a placa tenha densidade de<a constante, determine de<a para que a placa tenha a mesma massa que a obtida no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede (a) a massa e o centro de massa de uma placa de densidade rho(x,y)=y+1 sobre a região D limitada pelas curvas
x=y^2, x=2y-y^2,
e (b) determinar a densidade constante de<a para que a placa tenha a mesma massa do item (a). Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro descrevemos D em ordem dx,dy. As curvas se intersectam resolvendo
y^2 = 2y - y^2 ;Longrightarrow; 2y^2 - 2y=0 ;Longrightarrow; y(y-1)=0
logo y varia de 0 a 1. Para cada yin[0,1], x vai de
xmin=y^2 até xmax=2y-y^2 é

Passo 3

A massa é
M=integral duplaDrho(x,y),dA =integraly=0^1integralx=y^2^,2y-y^2(y+1),dx,dy
No interior, integralx=y^2^2y-y^2(y+1),dx=(y+1)l[(2y-y^2)-y^2r] =(y+1)(2y-2y^2)=2y(y+1)(1-y)
Assim
M=integral0^1l[2y(y+1)(1-y)r]dy =integral0^1(2y-2y^3),dy =l[y^2-tfrac12y^4r]0^1 =1-tfrac12 =tfrac12

Passo 4

O momento Mx (para encontrar bar y) é
Mx=integral duplaDy,rho(x,y),dA =integral0^1integraly^2^2y-y^2y(y+1),dx,dy =integral0^1y(y+1)(2y-2y^2),dy =integral0^1(2y^2-2y^4),dy =l[tfrac23y^3-tfrac25y^5r]0^1 =tfrac23-tfrac25 =tfrac415
O momento My (para bar x) é
My=integral duplaDx,rho(x,y),dA =integral0^1integraly^2^2y-y^2x(y+1),dx,dy =integral0^1y+12l[(2y-y^2)^2-y^4r]dy
Mas
(2y-y^2)^2-y^4=4y^2-4y^3+y^4-y^4=4y^2-4y^3,
logo o integrando vira (y+1),(2y^2-2y^3)=2y^2-2y^4, e
My=integral0^1(2y^2-2y^4),dy =l[tfrac23y^3-tfrac25y^5r]0^1 =tfrac415

Passo 5

O centro de massa (bar x,bar y) é dado por
bar x=MyM=tfrac415tfrac12=815, bar y=MxM=tfrac415tfrac12=815

Passo 6

Para o item (b), a área de D é
A=integral duplaD1,dA =integral0^1l[(2y-y^2)-y^2r]dy =integral0^1(2y-2y^2),dy =l[y^2-tfrac23y^3r]0^1 =1-tfrac23 =tfrac13
Queremos de<a,A=M, isto é de<acdottfrac13=tfrac12, daí
de<a=tfrac12tfrac13=32

Resposta

(a) M=tfrac12, bar x=tfrac815, bar y=tfrac815.
(b) de<a=tfrac32.

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