(a) Encontre a massa e o centro de massa de uma placa fina com a forma de uma região
limitada pelas curvas
e
se a densidade no ponto
for
.
(b) Supondo agora que a placa tenha densidade
constante, determine
para que a placa tenha a mesma massa que a obtida no item anterior.
(b) Supondo agora que a placa tenha densidade
Passo 1
O enunciado pede (a) a massa e o centro de massa de uma placa de densidade
sobre a região
limitada pelas curvas
e (b) determinar a densidade constante
para que a placa tenha a mesma massa do item (a). Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro descrevemos
em ordem
. As curvas se intersectam resolvendo
logo
varia de
a
. Para cada
,
vai de
Passo 3
A massa é
No interior,
Assim
Assim
Passo 4
O momento
(para encontrar
) é
O momento
(para
) é
Mas
logo o integrando vira
, e
Passo 5
O centro de massa
é dado por
Passo 6
Para o item (b), a área de
é
Queremos
, isto é
, daí
Resposta
(a)
,
,
.
(b) .
(b)