Determine as integrais usando a regra da substituição.
integral0^1 x^3 raiz1-x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x^3 raiz1 - x^4,dx
usando a técnica de substituição. O conteúdo é integração por substituição em integrais definidas, e vamos precisar escolher uma mudança de variável que simplifique a raiz quadrada.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = 1 - x^4
A partir daí, temos
du = -4x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = -14,du
Também ajustamos os limites: quando x=0, u=1; e quando x=1, u=0.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^1 x^3 raiz1 - x^4,dx = integralx=0^x=1 raizu,l(-tfrac14dur) = -tfrac14integralu=1^u=0 u^tfrac12,du
Invertendo os limites para voltar de 0 a 1, isso vira
-tfrac14integral1^0 u^tfrac12,du = tfrac14integral0^1 u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos em u:
tfrac14integral0^1 u^tfrac12,du = tfrac14l[u^tfrac32tfrac32r]0^1 = tfrac14cdot 23l(1^tfrac32-0r) = 16

Resposta

16

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