Determine as derivadas parciais indicadas.
R(s, t)=t e^s / t ; Ri(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir as derivadas parciais da função R(s, t) = t e^s / t no ponto (0, 1). Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos saber como a função muda em relação a uma variável mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma montanha com altitude variando conforme duas direções, digamos s e t. A derivada parcial em relação a s ( Rs ) nos diz como a altitude muda se você se move apenas na direção s, mantendo t constante. Já a derivada parcial em relação a t ( Rt ) mostra a mudança da altitude se você se move apenas na direção t, mantendo s constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de R em relação a s , ou seja, Rs . Para isso, tratamos t como uma constante e derivamos R com relação a s :
Rs(s, t) = partialpartial s ( t e^s / t )
Usamos a regra da cadeia para derivar e^s / t em relação a s :
Rs(s, t) = t cdot 1t e^s / t = e^s / t

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de R em relação a t , ou seja, Rt . Aqui, tratamos s como uma constante e derivamos R com relação a t :
Rt(s, t) = partialpartial t ( t e^s / t )
Para isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Rt(s, t) = e^s / t + t cdot e^s / t ( -st^2 ) = e^s / t - st e^s / t
Fatorando e^s / t :
Rt(s, t) = e^s / t ( 1 - st )

Passo 5

Agora que temos as expressões para Rs e Rt , vamos calcular seus valores no ponto (0, 1).
Para Rs(0, 1) :
Rs(0, 1) = e^0 / 1 = e^0 = 1
Para Rt(0, 1) :
Rt(0, 1) = e^0 / 1 ( 1 - 01 ) = e^0 cdot 1 = 1

Resposta

As derivadas parciais no ponto (0, 1) são:
Rs(0, 1) = 1 e Rt(0, 1) = 1

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