Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir as derivadas parciais da função
no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos saber como a função muda em relação a uma variável mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma montanha com altitude variando conforme duas direções, digamos s e t. A derivada parcial em relação a s (
) nos diz como a altitude muda se você se move apenas na direção s, mantendo t constante. Já a derivada parcial em relação a t (
) mostra a mudança da altitude se você se move apenas na direção t, mantendo s constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos
com relação a
:
Usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos
com relação a
:
Para isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Fatorando
:
Passo 5
Agora que temos as expressões para
e
, vamos calcular seus valores no ponto
.
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são: