1. Calcule a integral da função
f(x, y, z)=3 x^2+3 y^2+1raiz4 x^2+4 y^2+1 sobre a superficie do paraboloide z=1-x^2-y^2, limitada pelo plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície da função f(x, y, z) = 3x^2 + 3y^2 + 1raiz4x^2 + 4y^2 + 1 sobre o paraboloide dado por z = 1 - x^2 - y^2 , limitado pelo plano z = 0 . Isso envolve entender sobre integrais de superfície, como parametrizar a superfície e trocar para coordenadas mais fáceis de integrar, tipo as polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície sobre a qual vamos integrar. O paraboloide z = 1 - x^2 - y^2 é uma superfície que abre para baixo e atinge o plano z = 0 quando 1 - x^2 - y^2 = 0 , ou seja, quando x^2 + y^2 = 1 . Então, a região que nos interessa é o paraboloide de z = 1 até z = 0 , formando um disco na base.

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície, a gente vai precisar da expressão do elemento de área dS . Para uma superfície dada por z = f(x, y) , o elemento de área é:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy
No nosso caso, f(x, y) = 1 - x^2 - y^2 , então:
partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y
Substituindo:
dS = raiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dx , dy

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da integral. A integral de superfície fica:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD 3x^2 + 3y^2 + 1raiz4x^2 + 4y^2 + 1 cdot raiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dx , dy
Perceba que raiz4x^2 + 4y^2 + 1 no numerador e no denominador se cancelam, então a integral simplifica para:
integral duplaD (3x^2 + 3y^2 + 1) , dx , dy

Passo 5

Como a região D é um disco de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a troca:
x = r costheta, y = r sintheta, dx , dy = r , dr , dtheta
Substituindo na integral:
integral0^2pi integral0^1 (3r^2 cos^2theta + 3r^2 sin^2theta + 1) r , dr , dtheta
Simplificando os termos trigonométricos:
3r^2 cos^2theta + 3r^2 sin^2theta = 3r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = 3r^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 (3r^2 + 1) r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 (3r^3 + r) , dr , dtheta
Integrando em r :
integral0^1 (3r^3 + r) , dr = [34r^4 + 12r^2]0^1 = 34 + 12 = 54
Finalmente, integrando em theta :
integral0^2pi 54 , dtheta = 54 cdot 2pi = 5pi2

Resposta

O valor da integral é 5pi2 .

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