- Calcule a integral da função
sobre a superficie do paraboloide
, limitada pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície da função
sobre o paraboloide dado por
, limitado pelo plano
. Isso envolve entender sobre integrais de superfície, como parametrizar a superfície e trocar para coordenadas mais fáceis de integrar, tipo as polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície sobre a qual vamos integrar. O paraboloide
é uma superfície que abre para baixo e atinge o plano
quando
, ou seja, quando
. Então, a região que nos interessa é o paraboloide de
até
, formando um disco na base.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície, a gente vai precisar da expressão do elemento de área
. Para uma superfície dada por
, o elemento de área é:
No nosso caso,
, então:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da integral. A integral de superfície fica:
Perceba que
no numerador e no denominador se cancelam, então a integral simplifica para:
Passo 5
Como a região
é um disco de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a troca:
Substituindo na integral:
Simplificando os termos trigonométricos:
Então, a integral fica:
Integrando em
:
Finalmente, integrando em
:
Resposta
O valor da integral é
.