Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral.
51. integral ln (x^2-x+2) d x
(52. integral x tg^-1 x d x

Passo 1

Para calcular integral lnl(x^2-x+2r),dx vamos usar integração por partes, pois temos um logaritmo e um diferencial simples. Escolhemos
u = lnl(x^2-x+2r), dv = dx

Passo 2

Calculamos du e v:
du = 2x-1x^2-x+2,dx, v = x
Pela fórmula de partes,
integral u,dv = u v - integral v,du,
obtemos
integral lnl(x^2-x+2r),dx = xlnl(x^2-x+2r) - integral x;2x-1x^2-x+2,dx

Passo 3

Precisamos avaliar
integral x(2x-1)x^2-x+2,dx = integral 2x^2-xx^2-x+2,dx
Fazemos divisão algébrica escrevendo
2x^2-x = (2x-1),+1,
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2x^2-xx^2-x+2 = 2x-1x^2-x+2 + 1x^2-x+2
Assim,
integral 2x^2-xx^2-x+2,dx = integral 2x-1x^2-x+2,dx + integral 1x^2-x+2,dx

Passo 4

A primeira integral é imediata com t = x^2-x+2, dt=(2x-1),dx:
integral 2x-1x^2-x+2,dx = lnl(x^2-x+2r)
Para a segunda, completamos o quadrado:
x^2-x+2 = l(x-tfrac12r)^2 + tfrac74,
de modo que
integral 1(x-tfrac12)^2+(tfracraiz72)^2,dx = 2raiz7,arctan!l(2x-1raiz7r)
Reunindo, obtemos
integral x(2x-1)x^2-x+2,dx = lnl(x^2-x+2r) + 2raiz7,arctan!l(2x-1raiz7r)

Passo 5

Voltando à parte por partes:
integral lnl(x^2-x+2r),dx = xlnl(x^2-x+2r) - l[lnl(x^2-x+2r) + tfrac2raiz7,arctan!l(tfrac2x-1raiz7r)r] + C
Portanto,
integral lnl(x^2-x+2r),dx = (x-1)lnl(x^2-x+2r) - 2raiz7,arctan!l(2x-1raiz7r) + C

Passo 6

Agora calculamos integral x,arctan(x),dx também por partes. Escolhemos
u = arctan(x), dv = x,dx

Passo 7

Temos
du = 11+x^2,dx, v = x^22
Logo
integral x,arctan(x),dx = x^22,arctan(x) - integral x^22,11+x^2,dx
Note que
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2,
então
integral x^21+x^2,dx = integral 1,dx - integral 11+x^2,dx = x - arctan(x)
Portanto
integral x,arctan(x),dx = x^22,arctan(x) - 12l(x - arctan(x)r) + C

Passo 8

Reescrevendo,
integral x,arctan(x),dx = x^22,arctan(x) - x2 + arctan(x)2 + C = x^2+12,arctan(x) - x2 + C

Resposta

  1. integral ln(x^2-x+2),dx = (x-1)lnl(x^2-x+2r) - 2raiz7,arctan!l(2x-1raiz7r) + C
  2. integral x,arctan(x),dx = x^2+12,arctan(x) - x2 + C

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