(2.2) Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um triângulo retângulo de catetos medindo 10 m e 20 m . Determine a área máxima possível para o galpão.
Passo 1
O enunciado dá um terreno em forma de triângulo retângulo com catetos medindo
m e
m e pede a área máxima de um retângulo inscrito nesse triângulo com lados paralelos aos catetos. O conteúdo usado será semelhança de triângulos e otimização de função via derivada.
Passo 2
Seja
a largura do retângulo ao longo do cateto de
m e
a altura ao longo do cateto de
m. O vértice oposto ao canto na origem fica sobre a hipotenusa. Pelos triângulos semelhantes,
Isolando
,
Passo 3
A área do retângulo em função de
é
Passo 4
Para maximizar, derivamos:
e igualamos a zero:
Substituindo em
vem
Passo 5
A área máxima é
Resposta
A área máxima possível é
m
.