(2.2) Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um triângulo retângulo de catetos medindo 10 m e 20 m . Determine a área máxima possível para o galpão.

Passo 1

O enunciado dá um terreno em forma de triângulo retângulo com catetos medindo 10 m e 20 m e pede a área máxima de um retângulo inscrito nesse triângulo com lados paralelos aos catetos. O conteúdo usado será semelhança de triângulos e otimização de função via derivada.

Passo 2

Seja x a largura do retângulo ao longo do cateto de 20 m e y a altura ao longo do cateto de 10 m. O vértice oposto ao canto na origem fica sobre a hipotenusa. Pelos triângulos semelhantes,
x20 + y10 = 1
Isolando y,
y = 10gl(1 - x20gr) = 10 - x2

Passo 3

A área do retângulo em função de x é
A(x) = x,y = xl(10 - tfracx2r) = 10x - x^22

Passo 4

Para maximizar, derivamos:
A'(x) = 10 - x,
e igualamos a zero:
10 - x = 0 Longrightarrow x = 10 m
Substituindo em y = 10 - tfracx2 vem
y = 10 - 102 = 5 m

Passo 5

A área máxima é
Amax = x cdot y = 10 times 5 = 50 m^2

Resposta

A área máxima possível é 50 m ^2.

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