Considere a curva \gamma(t)=(t, 2 sent +4 ), com t \in\left[\frac{\pi}{8}, 2 \pi\right]. Girando-se a curva \gamma em torno do eixo x , obtemos uma superfície de rotação M^{2}. Determine esta superfície de rotação.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva planar
\gamma(t) = \bigl(t,\;2\sin t + 4\bigr),
com t\in\bigl[\tfrac{\pi}{8},\,2\pi\bigr], e pede a superfície M^2 obtida girando essa curva em torno do eixo x. O conteúdo aqui é superfície de revolução: ao rotacionar uma curva do plano xy em torno do eixo x, cada ponto (x,y) descreve um círculo de raio \lvert y\rvert no plano perpendicular ao eixo x.

Passo 2

Para uma curva genérica \bigl(x(t),y(t)\bigr), a rotação em torno do eixo x usa um segundo parâmetro angular \theta\in[0,2\pi] e leva ao seguinte mapa paramétrico:
r(t,\theta) = \bigl(x(t),\;y(t)\cos\theta,\;y(t)\sin\theta\bigr).
Isso garante que, para cada t fixo, o ponto original gira descrevendo um círculo de raio \lvert y(t)\rvert.

Passo 3

No nosso caso temos x(t)=t e y(t)=2\sin t+4. Logo, a parametrização de M^2 é
r(t,\theta) = \bigl(t,\;(2\sin t + 4)\cos\theta,\;(2\sin t + 4)\sin\theta\bigr),
com
t\in\bigl[\tfrac{\pi}{8},\,2\pi\bigr], \quad \theta\in[0,2\pi].

Passo 4

Uma forma alternativa de caracterizar essa superfície é por sua equação implícita em \mathbb R^3: o eixo x permanece livre, e as variáveis (y,z) satisfazem
y^2 + z^2 = \bigl(2\sin x + 4\bigr)^2,
com x\in\bigl[\tfrac{\pi}{8},2\pi\bigr].

Resposta

A superfície de revolução M^2 é dada pela parametrização
r(t,\theta) = \bigl(t,\;(2\sin t + 4)\cos\theta,\;(2\sin t + 4)\sin\theta\bigr),
onde t\in\bigl[\tfrac{\pi}{8},2\pi\bigr] e \theta\in[0,2\pi].
Equivalentemente,
M^2 = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid x\in[\tfrac{\pi}{8},2\pi],\;y^2+z^2 = (2\sin x + 4)^2\bigr\}.

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