Considere a curva
sent +4
, com
. Girando-se a curva
em torno do eixo x , obtemos uma superfície de rotação
. Determine esta superfície de rotação.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva planar
com
, e pede a superfície
obtida girando essa curva em torno do eixo
. O conteúdo aqui é superfície de revolução: ao rotacionar uma curva do plano
em torno do eixo
, cada ponto
descreve um círculo de raio
no plano perpendicular ao eixo
.
Passo 2
Para uma curva genérica
, a rotação em torno do eixo
usa um segundo parâmetro angular
e leva ao seguinte mapa paramétrico:
Isso garante que, para cada
fixo, o ponto original gira descrevendo um círculo de raio
.
Passo 3
No nosso caso temos
e
. Logo, a parametrização de
é
com
Passo 4
Uma forma alternativa de caracterizar essa superfície é por sua equação implícita em
: o eixo
permanece livre, e as variáveis
satisfazem
com
.
Resposta
A superfície de revolução
é dada pela parametrização
onde
e
.
Equivalentemente,
Equivalentemente,