Calcule a integral da função f(x)=e^{x} \cos (x)+\frac{1}{x^{2}-5 x+6}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva
\int f(x)\,\mathrm{d}x
onde
f(x)=e^{x}\cos(x)+\frac{1}{x^{2}-5x+6}.
Para resolver, vamos usar
  1. integração por partes para \displaystyle\int e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x,
  2. decomposição em frações parciais para \displaystyle\int\frac{1}{x^{2}-5x+6}\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Definimos
I=\int e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x.
Fazendo integração por partes com \,u=e^{x},\;\mathrm{d}v=\cos(x)\,\mathrm{d}x
temos
v=\sin(x),\quad \mathrm{d}u=e^{x}\,\mathrm{d}x,
logo
I=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\sin(x)\,\mathrm{d}x.
Chamando
J=\int e^{x}\sin(x)\,\mathrm{d}x
e aplicando partes em J com u=e^{x},\;\mathrm{d}v=\sin(x)\,\mathrm{d}x
J=-\,e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\cos(x)\,\mathrm{d}x =-\,e^{x}\cos(x)+I.
Substituindo em I:
I=e^{x}\sin(x)-J =e^{x}\sin(x)-\bigl(-e^{x}\cos(x)+I\bigr) =e^{x}(\sin(x)+\cos(x))-I.
Assim
2I=e^{x}(\sin(x)+\cos(x)) \quad\Longrightarrow\quad I=\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)+C_{1}.

Passo 3

Agora
\int\frac{1}{x^{2}-5x+6}\,\mathrm{d}x =\int\frac{1}{(x-2)(x-3)}\,\mathrm{d}x.
Fazemos frações parciais
\frac{1}{(x-2)(x-3)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3},
com
A(x-3)+B(x-2)=1.
Para x=2 vem A=-1; para x=3 vem B=1. Logo
\int\frac{1}{x^{2}-5x+6}\,\mathrm{d}x =\int\Bigl(-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\Bigr)\,\mathrm{d}x =-\ln\bigl|x-2\bigr|+\ln\bigl|x-3\bigr|+C_{2}.

Passo 4

Somando as duas primitivas e reunindo constantes C=C_{1}+C_{2}, obtemos a antiderivada geral de f.

Resposta

F(x) =\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) +\ln\bigl|x-3\bigr|-\ln\bigl|x-2\bigr|+C.

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