Uma partícula se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força f(x)=e^{x} \operatorname{sen}(x) quando a partícula está a distância x da origem. Calcule o trabalho realizado pela força f(x), quando a partícula vai do ponto x=0 ao ponto x=2.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força variável ao longo do eixo x. O conteúdo aqui é cálculo de trabalho usando a integral definida
W=\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx
Precisamos montar a integral de f(x)=e^{x}\sin(x) desde x=0 até x=2.

Passo 2

Escrevemos o trabalho como
W = \int_{0}^{2} e^{x}\sin(x)\,dx.

Passo 3

Para resolver \displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx usamos integração por partes duas vezes. Seja
I = \int e^{x}\sin(x)\,dx.
  1. Escolha u=\sin(x), dv=e^{x}dx. Então du=\cos(x)dx, v=e^{x}.
  2. Aplica-se
I = e^{x}\sin(x) - \int e^{x}\cos(x)\,dx.
  1. Para \displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx fazemos nova partes com u=\cos(x), dv=e^{x}dx, obtendo
\int e^{x}\cos(x)\,dx = e^{x}\cos(x) - \int(-\sin(x))\,e^{x}dx = e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\sin(x)\,dx.
  1. Logo
I = e^{x}\sin(x) -\bigl[e^{x}\cos(x) + I\bigr] = e^{x}\sin(x) - e^{x}\cos(x) - I,
de onde
2I = e^{x}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à integral definida,
W = \left[\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin(x)-\cos(x)\bigr)\right]_{0}^{2} = \frac{e^{2}}{2}\bigl(\sin(2)-\cos(2)\bigr) - \frac{e^{0}}{2}\bigl(\sin(0)-\cos(0)\bigr).
Como \sin(0)=0 e \cos(0)=1, o segundo termo é
- \frac{1}{2}(0-1) = +\frac{1}{2}.
Portanto
W = \frac{e^{2}}{2}\bigl(\sin(2)-\cos(2)\bigr) + \frac{1}{2}.

Resposta

W = \frac{e^{2}\bigl(\sin(2)-\cos(2)\bigr) + 1}{2}.

Exercícios relacionados