Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
x=u+v, \quad y=3 u^{2}, \quad z=u-v ; \quad(2,3,0)

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície parametrizada por
\mathbf r(u,v) = \bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr) = \bigl(u+v,\;3u^2,\;u-v\bigr)
e pede a equação do plano tangente em (2,3,0).
O conteúdo aqui é cálculo de plano tangente a uma superfície paramétrica: vamos usar as derivadas parciais \mathbf r_u e \mathbf r_v para obter vetores tangentes, depois o produto vetorial para achar um vetor normal, e finalmente a equação do plano.

Passo 2

Primeiro encontramos (u_0,v_0) tal que
u_0 + v_0 = 2,\quad 3u_0^2 = 3,\quad u_0 - v_0 = 0.
Da terceira equação vem v_0 = u_0. Substituindo na primeira, u_0+u_0=2 u_0=1 e então v_0=1. A segunda checa: 3\cdot1^2=3, ok.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em (u_0,v_0)=(1,1):
\mathbf r_u(u,v)=\bigl(1,\;6u,\;1\bigr), \quad \mathbf r_v(u,v)=\bigl(1,\;0,\;-1\bigr).
Logo em (1,1)
\mathbf r_u(1,1)=(1,6,1), \quad \mathbf r_v(1,1)=(1,0,-1).

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
\mathbf n = \mathbf r_u(1,1)\times \mathbf r_v(1,1) = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 6 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-6,2,-6).
Podemos simplificar por -2, obtendo
\mathbf n = (3,-1,3).

Passo 5

A equação do plano com normal \mathbf n=(3,-1,3) passando por (x_0,y_0,z_0)=(2,3,0) é
3\bigl(x-2\bigr)-1\bigl(y-3\bigr)+3\bigl(z-0\bigr)=0.
Desenvolvendo,
3x -6 -y +3 +3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - y +3z = 3.

Resposta

A equação do plano tangente é
3x - y + 3z = 3.

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