Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais. .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método de frações parciais. O conteúdo envolve fatorar o denominador, decompor em frações parciais e depois integrar termos que levam a logaritmos e à função arco-tangente.
Passo 2
Fatoramos o denominador como
Passo 3
Propomos a decomposição
Multiplicando por obtemos
Expandindo e igualando coeficientes de , e termo constante, chega-se ao sistema
cuja solução é
A = tfrac13, B = -tfrac13, C = -tfrac23
Passo 4
Substituindo na integral, temos
integral 1x^3 - 1,dx = 13integral 1x-1,dx - 13integral x+2x^2 + x + 1,dx,
pois ,Bx+C = -tfrac13x - tfrac23 = -tfrac13(x+2).
Passo 5
Para integrar integral x+2x^2+x+1,dx, escrevemos
x+2 = 12(2x+1) + 32,
então
integral x+2x^2+x+1,dx = 12integral 2x+1x^2+x+1,dx + 32integral 1x^2+x+1,dx
Calculamos
integral 2x+1x^2+x+1,dx = lnl(x^2+x+1r),
e, completando o quadrado x^2+x+1=(x+tfrac12)^2+tfrac34,
integral 1x^2+x+1,dx = 2raiz3,arctan!l(2x+1raiz3r)
Passo 6
Reunindo tudo,
integral 1x^3 - 1,dx = 13lnlvert x-1rvert - 16lnl(x^2+x+1r) - 1raiz3,arctan!l(2x+1raiz3r) + C
Resposta
integral 1x^3 - 1,dx = 13lnlvert x-1rvert - 16lnl(x^2+x+1r) - 1raiz3,arctan!l(2x+1raiz3r) + C