Calcule a integral das funções racionais pelo método das frações parciais.
integral 1x^3-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^3 - 1,dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo envolve fatorar o denominador, decompor em frações parciais e depois integrar termos que levam a logaritmos e à função arco-tangente.

Passo 2

Fatoramos o denominador como
x^3-1 = (x-1)(x^2 + x + 1)

Passo 3

Propomos a decomposição
1x^3 - 1 = Ax-1 + Bx + Cx^2 + x + 1
Multiplicando por (x-1)(x^2+x+1) obtemos
1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)
Expandindo e igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, chega-se ao sistema
A + B = 0, 2A + C = 0, 3A = 1,
cuja solução é
A = tfrac13, B = -tfrac13, C = -tfrac23

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral 1x^3 - 1,dx = 13integral 1x-1,dx - 13integral x+2x^2 + x + 1,dx,
pois ,Bx+C = -tfrac13x - tfrac23 = -tfrac13(x+2).

Passo 5

Para integrar
integral x+2x^2+x+1,dx, escrevemos
x+2 = 12(2x+1) + 32,
então
integral x+2x^2+x+1,dx = 12integral 2x+1x^2+x+1,dx + 32integral 1x^2+x+1,dx
Calculamos
integral 2x+1x^2+x+1,dx = lnl(x^2+x+1r),
e, completando o quadrado x^2+x+1=(x+tfrac12)^2+tfrac34,
integral 1x^2+x+1,dx = 2raiz3,arctan!l(2x+1raiz3r)

Passo 6

Reunindo tudo,
integral 1x^3 - 1,dx = 13lnlvert x-1rvert - 16lnl(x^2+x+1r) - 1raiz3,arctan!l(2x+1raiz3r) + C

Resposta

integral 1x^3 - 1,dx = 13lnlvert x-1rvert - 16lnl(x^2+x+1r) - 1raiz3,arctan!l(2x+1raiz3r) + C

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