Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
Se
são funções tais que
é limitada e
, então tem-se que
.
Se
Passo 1
O enunciado fala de duas funções
em que
é limitada e
. A tarefa é decidir se sempre vale
O conteúdo usado aqui é definição de função limitada e definição de limite infinito para provar que a soma diverge para
.
Passo 2
Como
é limitada, existem constantes
tais que, para todo
,
Em particular,
para todo
.
Passo 3
Dado qualquer número real
, usamos que
. Pela definição de limite infinito, existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Para
temos
Como isso vale para todo
e para todo
suficientemente grande, concluímos que
Resposta
A afirmação é verdadeira.