Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
Se f, g: R R são funções tais que f é limitada e lim x +infty g(x)=+infty, então tem-se que lim x +infty(f(x)+g(x))=+infty.

Passo 1

O enunciado fala de duas funções f,gcolon RtoR em que f é limitada e limxto+inftyg(x)=+infty. A tarefa é decidir se sempre vale
limxto+inftyl(f(x)+g(x)r)=+infty
O conteúdo usado aqui é definição de função limitada e definição de limite infinito para provar que a soma diverge para +infty.

Passo 2

Como f é limitada, existem constantes m,MinR tais que, para todo xinR,
m <= f(x) <= M
Em particular, f(x)>= m para todo x.

Passo 3

Dado qualquer número real A>0, usamos que limxto+inftyg(x)=+infty. Pela definição de limite infinito, existe X>0 tal que, para todo x>X,
g(x) > A - m

Passo 4

Para x>X temos
f(x)+g(x);>=;m + g(x);>;m + l(A - mr);=;A
Como isso vale para todo A>0 e para todo x suficientemente grande, concluímos que
limxto+inftyl(f(x)+g(x)r)=+infty

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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