Se for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série .
Se , onde para todo . Encontre o intervalo de convergência da séria e uma fórmula explícita para .
Passo 1
Beleza, temos duas “mini-questões” de séries de potência.
Encontrar o raio de convergência de
com .
2) Dado
achar o intervalo de convergência e uma fórmula fechada para .
O assunto é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar raio de convergência e somar séries geométricas para obter .
( Intervalo de convergência e fórmula de f(x) )
Como cn+4=cn, os cn são periódicos de período 4 e, em particular, são pontos fixos num conjunto finito, logo estão limitados.
Raio de convergência: para coeficientes limitados vale limsup|cn|^1/n=1,
então o raio é R=1.
Em |x|<1 a série converge absolutamente; em x=pm1 não converge (os termos não tendem a zero).
Logo o intervalo de convergência é
-1<x<1
Fórmula explícita: agrupe em blocos de 4 termos, para m>=0: