Se k for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série sumn=1^+infty (n!)^k(k n)! x^n.
Se f(x)=sumn=1^+infty cn x^n, onde cn+4=cn para todo n in N. Encontre o intervalo de convergência da séria e uma fórmula explícita para f(x).

Passo 1

Beleza, temos duas “mini-questões” de séries de potência.
  1. Encontrar o raio de convergência de
sumn=1^infty (n!)^k(kn)!,x^n,
com kinN^+.
2) Dado
f(x)=sumn=1^inftycn,x^n, cn+4=cn;forall n,
achar o intervalo de convergência e uma fórmula fechada para f(x).
O assunto é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar raio de convergência e somar séries geométricas para obter f(x).

Passo 2

( Raio de convergência da primeira série )
Defina
an=(n!)^k(kn)!
Então o teste da razão pede o limite
L ;=;limntoinftyl|tfracan+1anr|
Calculemos:
an+1an =l((n+1)!r)^k/(k(n+1))!(n!)^k/(kn)! =(n+1)^k(kn+1)(kn+2)cdots(kn+k)
Para n grande, cada termo (kn+j)approx kn, então o produto
(kn+1)cdots(kn+k)approx (kn)^k. Logo
L =limntoinfty(n+1)^k(kn)^k =1k^k
O teste da razão diz que converge se
L,|x|<1 Long<=ftrightarrow |x|k^k<1 Longrightarrow |x|<k^k
Portanto o raio de convergência é
R=k^k.

Passo 3

( Intervalo de convergência e fórmula de f(x) )
Como cn+4=cn, os cn são periódicos de período 4 e, em particular, são pontos fixos num conjunto finito, logo estão limitados.
  1. Raio de convergência: para coeficientes limitados vale
    limsup|cn|^1/n=1,
    então o raio é R=1.
    Em |x|<1 a série converge absolutamente; em x=pm1 não converge (os termos não tendem a zero).
    Logo o intervalo de convergência é
-1<x<1
  1. Fórmula explícita: agrupe em blocos de 4 termos, para m>=0:
f(x) =sumn=1^infty cnx^n =summ=0^inftyl(c1x^1+4m+c2x^2+4m+c3x^3+4m+c4x^4+4mr)
Cada série summ=0^infty x^4m é geométrica com soma 1/(1-x^4). Assim
f(x) =c1x+c2x^2+c3x^3+c4x^41-x^4, |x|<1

Resposta

  1. O raio de convergência de sumn=1^infty(n!)^k(kn)!x^n é
boxedR = k^k
  1. Para f(x)=sumn=1^infty cnx^n com cn+4=cn:
    • Intervalo de convergência: -1<x<1
    • Fórmula explícita:
boxedf(x)=c1x+c2x^2+c3x^3+c4x^41-x^4, |x|<1

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