Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada:
y^prime=(8 x+2 y+1)^2. Resp: 8 x+2 y+1=2 tg(4 x+c).

Passo 1

Temos a equação diferencial
y' = l(8x + 2y + 1r)^2
O conteúdo é solução de uma equação de primeira ordem não linear, que se torna separável após uma mudança de variável. Vamos usar a mudança
u = 8x + 2y + 1

Passo 2

Derivando u em relação a x, obtemos
dudx = 8 + 2,dydx
Como dydx=y'=(8x+2y+1)^2=u^2, segue
dudx = 8 + 2u^2

Passo 3

Reescrevendo, temos uma equação separável em u:
dudx = 2u^2 + 8 Longrightarrow duu^2+4 = 2,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral duu^2+4 = integral 2,dx
No lado esquerdo,
integral duu^2+2^2 = 12arctan!l(u2r),
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12arctan!l(u2r) = 2x + C
Multiplicando por 2 e isolando o argumento da tangente,
arctan!l(u2r)=4x + C1 Longrightarrow u2 = tan!l(4x + C1r)
Assim
u = 2,tan!l(4x + C1r)

Passo 5

Voltando à variável original, u = 8x + 2y + 1, concluímos
8x + 2y + 1 = 2,tan!l(4x + C1r)

Resposta

8x + 2y + 1 = 2,tan!l(4x + Cr)

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