Calcule a integral
I=\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2 \pi}} x \sin \left(x^{2}\right) d x
Resposta: (1) I=1, (2) I=-1, (3) I=0, (4) I=-2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} x \,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
O conteúdo é integração por substituição em uma composição do tipo x\sin(x^2).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2
Logo
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Alteramos também os limites de integração:
quando x = \sqrt{\pi}, u = (\sqrt{\pi})^2 = \pi;
quando x = \sqrt{2\pi}, u = (\sqrt{2\pi})^2 = 2\pi.
Assim
I = \int_{u=\pi}^{u=2\pi} \sin(u)\,\frac{du}{2} = \frac12 \int_{\pi}^{2\pi} \sin(u)\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u).
Portanto
I = \frac12 \Bigl[-\cos(u)\Bigr]_{\pi}^{2\pi} = -\frac12\bigl[\cos(2\pi) - \cos(\pi)\bigr].

Passo 5

Usando \cos(2\pi)=1 e \cos(\pi)=-1, obtemos
I = -\frac12\bigl[1 - (-1)\bigr] = -\frac12\cdot 2 = -1.

Resposta

(2) I = -1

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