Calcule a integral
I=\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos 2 x d x
Resposta: (1) I=1 / 5, (2) I=2 / 5, (3) I=3 / 5, (4) I=4 / 5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(2x)\,dx.
O conteúdo é integração imprópria de função com expoente decrescente e cosseno, e vamos usar o método de integração por partes, introduzindo também
J = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin(2x)\,dx
para montar um sistema de equações.

Passo 2

Aplicando integração por partes em
I = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(2x)\,dx,
tomamos u = \cos(2x) e dv = e^{-x}dx. Então du = -2\sin(2x)\,dx e v = -e^{-x}. Logo,
I = \Bigl[-e^{-x}\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \bigl(-e^{-x}\bigr)\bigl(-2\sin(2x)\bigr)\,dx = 1 - 2\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin(2x)\,dx = 1 - 2J.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em
J = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin(2x)\,dx,
com u = \sin(2x), dv = e^{-x}dx. Assim du = 2\cos(2x)\,dx e v = -e^{-x}. Temos
J = \Bigl[-e^{-x}\sin(2x)\Bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\bigl(-e^{-x}\bigr)\bigl(2\cos(2x)\bigr)\,dx = 0 + 2\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(2x)\,dx = 2I.

Passo 4

Substituindo J = 2I na relação I = 1 - 2J, obtemos
I = 1 - 2(2I) \quad\longrightarrow\quad I = 1 - 4I \quad\longrightarrow\quad 5I = 1 \quad\longrightarrow\quad I = \tfrac{1}{5}.

Resposta

(1) I = \tfrac{1}{5}

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