Calcule a integral
I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+x}}
Resposta: (1) I=\ln (3-2 \sqrt{2}), (2) I=\ln (3+2 \sqrt{2}), (3) I=\ln (3+\sqrt{2}), (4) I=\ln (3-\sqrt{2}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + x}}.
Esse problema envolve completar o quadrado em x^{2}+x e usar uma substituição hiperbólica para simplificar a raiz.

Passo 2

Complete o quadrado em x^{2}+x:
x^{2} + x = \Bigl(x + \tfrac12\Bigr)^{2} - \tfrac14.
Isso sugere a substituição
x + \tfrac12 = \tfrac12\operatorname{cosh} t.

Passo 3

A partir de
x = \tfrac12\bigl(\operatorname{cosh} t - 1\bigr)
vem
dx = \tfrac12\operatorname{sinh} t\,dt \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}+x} = \sqrt{\Bigl(\tfrac12\operatorname{cosh} t - \tfrac12\Bigr)^{2} - \tfrac14 + \tfrac14} = \tfrac12\operatorname{sinh} t.

Passo 4

Substituindo em I:
I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+x}} = \int \frac{\tfrac12\operatorname{sinh} t\,dt}{\tfrac12\operatorname{sinh} t} = \int dt = t + C.

Passo 5

Ajuste dos limites:
Para x=0 temos \operatorname{cosh} t = 1\implies t=0.
Para x=1 temos \operatorname{cosh} t = 3\implies t = \arccosh(3).
E
\arccosh(3) = \ln\bigl(3 + \sqrt{3^{2}-1}\bigr) = \ln\bigl(3+2\sqrt2\bigr).
Logo
I = t\Bigl|_{0}^{\arccosh(3)} = \arccosh(3) = \ln\bigl(3+2\sqrt2\bigr).

Resposta

(2) \ln(3+2\sqrt2)

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