Seja A a area limitada pelas curvas: y=2 x-x^{2} e x+y=0. Achar o valor de 2 A.
Resposta: (1) 7 , (2) 8 , (3) 9 , (4) 6 , (5) 5 .

Passo 1

O enunciado pede a área A delimitada pelas curvas
y = 2x - x^2
e
x + y = 0,
e depois o valor de 2A. O conteúdo é cálculo de área entre curvas via integração. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção.
  2. Verificar qual função está acima da outra no intervalo.
  3. Montar e calcular a integral de diferença das funções.
  4. Multiplicar a área obtida por 2.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos as expressões de y:
2x - x^2 = -x.
Reescrevendo,
-x^2 + 2x + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -x^2 + 3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(-x + 3) = 0.
Logo x = 0 ou x = 3. Correspondem a y(0) = 0 e y(3) = -3.

Passo 3

No intervalo x\in[0,3], comparamos
y_{\text{parab}} = 2x - x^2 \quad\text{e}\quad y_{\text{reta}} = -x.
Para qualquer x\in(0,3),
2x - x^2 - (-x) = 3x - x^2 = x(3 - x) > 0,
portanto a parábola está acima da reta.

Passo 4

A área A é
A = \int_{0}^{3} \bigl[(2x - x^2) - (-x)\bigr] \,dx = \int_{0}^{3} \bigl(3x - x^2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{3} (3x - x^2)\,dx = \left[\tfrac{3}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{3} = \Bigl(\tfrac{3}{2}\cdot9 - \tfrac{1}{3}\cdot27\Bigr) - 0 = \tfrac{27}{2} - 9 = \tfrac{9}{2}.
Assim A = \tfrac{9}{2}.

Passo 6

Finalmente,
2A = 2 \times \tfrac{9}{2} = 9.

Resposta

9

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