Calcule a integral
I=\int_{0}^{\pi} x^{2} \sin x d x
Resposta: (1) I=\pi, (2) I=\pi^{2}, (3) I=-\pi^{2}, (4) I=2 \pi^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\pi} x^{2}\sin x \,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, aplicada duas vezes, já que a função polinomial x^2 vai sendo reduzida a cada passo.

Passo 2

Escolhemos na primeira integração por partes
u = x^{2},\quad dv = \sin x\,dx,
de modo que
du = 2x\,dx,\quad v = -\cos x.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos a primitiva
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int 2x\cos x\,dx = 2\int x\cos x\,dx.
Fazemos uma segunda integração por partes em \int x\cos x\,dx, escolhendo
u = x,\quad dv = \cos x\,dx
du = dx,\quad v = \sin x.
Então
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
Multiplicando por 2,
\int 2x\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x.

Passo 4

A primitiva geral de x^2\sin x é
F(x) = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.
Agora avaliamos de 0 a \pi:
I = F(\pi) - F(0) = \bigl(-\pi^{2}\cos\pi + 2\pi\sin\pi + 2\cos\pi\bigr) - \bigl(-0 + 0 + 2\cos0\bigr).
Como \cos\pi=-1, \sin\pi=0 e \cos0=1, isso dá
I = \bigl(-\pi^{2}(-1) + 0 + 2(-1)\bigr) - \bigl(2\cdot1\bigr) = \bigl(\pi^{2} - 2\bigr) - 2 = \pi^{2} - 4.

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas. O valor exato é
I = \pi^{2} - 4.

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