Seja A a area limitada pelas curvas: y^{2}=2 x e 27 y^{2}=8(x-1)^{3}. Achar o valor de 15 A / \sqrt{2}.
Resposta: (1) 85, (2) 88, (3) 87, (4) 86, (5) 84.

Passo 1

O enunciado pede a área A limitada pelas curvas
y^{2}=2x
e
27\,y^{2}=8\,(x-1)^{3},
e em seguida o valor de \tfrac{15A}{\sqrt{2}}. O conteúdo aqui é cálculo de área de região plana usando integração em coordenada y.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos x da primeira curva na segunda. Da primeira temos
x=\frac{y^{2}}{2}.
Substituindo em 27y^{2}=8(x-1)^{3}:
27\,y^{2} = 8\Bigl(\frac{y^{2}}{2}-1\Bigr)^{3} \;\Longrightarrow\; 27\,y^{2} = (y^{2}-2)^{3}.
Chamando t=y^{2}, obtemos
(t-2)^{3}=27t \;\Longrightarrow\; t^{3}-6t^{2}-15t-8=0,
cuja raiz positiva é t=8. Logo y=\pm2\sqrt{2} e x=\tfrac{8}{2}=4.

Passo 3

Expressamos cada curva como x em função de y:
x_{1}(y)=\frac{y^{2}}{2}, \qquad x_{2}(y)-1=\biggl(\frac{27\,y^{2}}{8}\biggr)^{1/3}=\frac{3}{2}\,\lvert y\rvert^{2/3},
ou seja para y\ge0,
x_{2}(y)=1+\frac{3}{2}\,y^{2/3}.
No intervalo 0\le y\le2\sqrt{2} tem-se x_{1}(y)\le x_{2}(y).

Passo 4

Usando simetria em relação ao eixo x, a área é
A =2\int_{0}^{2\sqrt{2}}\bigl[x_{2}(y)-x_{1}(y)\bigr]\,dy =2\int_{0}^{2\sqrt{2}}\Bigl(1+\frac{3}{2}y^{2/3}-\frac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dy.

Passo 5

Separamos em três integrais:
I_{1}=\int_{0}^{2\sqrt{2}}1\,dy = 2\sqrt{2}, \quad I_{2}=\int_{0}^{2\sqrt{2}}y^{2/3}\,dy =\frac{3}{5}(2\sqrt{2})^{5/3} =\frac{12}{5}\sqrt{2},
I_{3}=\int_{0}^{2\sqrt{2}}y^{2}\,dy =\frac{(2\sqrt{2})^{3}}{3} =\frac{16\sqrt{2}}{3}.
Logo
A =2\Bigl[I_{1}+\frac{3}{2}I_{2}-\frac{1}{2}I_{3}\Bigr] =2\Bigl(2\sqrt{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{12}{5}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{16\sqrt{2}}{3}\Bigr) = \frac{88}{15}\sqrt{2}.

Passo 6

Por fim,
\frac{15A}{\sqrt{2}} =15\cdot\frac{88}{15}\sqrt{2}\,/\,\sqrt{2} =88.

Resposta

88

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