Calcule a integral
I=\int_{0}^{1 / 2} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} d x
Resposta: (1) I=\pi^{2} / 2, (2) I=\pi^{2} / 4, (3) I=\pi^{2} / 16, (4) I=\pi^{2} / 32.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{0}^{1/2}\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx.
O conteúdo principal é usar uma substituição trigonométrica do tipo x=\sin^{2}t, que simplifica tanto \sqrt{x} quanto \sqrt{1-x}, e transforma \arcsin\sqrt{x} em uma expressão linear em t.

Passo 2

Fazendo a substituição
x=\sin^{2}t,
temos
dx=2\sin t\cos t\,dt,\quad \sqrt{x}=\sin t,\quad \sqrt{1-x}=\cos t,\quad \arcsin\sqrt{x}=t.
Quando x=0 vem t=0, e quando x=\tfrac12 vem \sin t=\tfrac1{\sqrt2}, ou seja t=\tfrac{\pi}{4}. Assim a integral vira
I=\int_{0}^{\pi/4}\frac{t}{\sin t\cos t}\,2\sin t\cos t\,dt =\int_{0}^{\pi/4}2t\,dt.

Passo 3

Calculando a integral de 2t:
\int_{0}^{\pi/4}2t\,dt =\Bigl[t^{2}\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)^{2} =\frac{\pi^{2}}{16}.

Resposta

A opção correta é (3) \displaystyle I=\frac{\pi^{2}}{16}.

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