Calcule a integral
I=integral triplaT(x-1) d V
onde T é a região do espaço delimitada pelos planos y=0, z=0, y+z=5 z=4-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! A gente precisa calcular a integral
I = integral triplaT (x - 1) , dV
onde a região $ T $ é delimitada pelos planos $ y = 0 $, $ z = 0 $, $ y + z = 5 $ e $ z = 4 - x^{2} $. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral multivariado, especialmente integração em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender bem os limites de integração para cada variável $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ T $. Temos quatro planos que delimitam $ T $:
  1. $ y = 0 $: Isso é o plano $ xz $.
  2. $ z = 0 $: Plano $ xy $.
  3. $ y + z = 5 $: Um plano inclinado que corta os eixos $ y $ e $ z $ nos pontos $ y = 5 $ e $ z = 5 $.
  4. $ z = 4 - x^{2} $: Uma parábola invertida em $ x $, que abre para baixo no eixo $ z $.
Nossa estratégia é determinar os limites para $ x $, $ y $ e $ z $ e então configurar a integral tripla.

Passo 3

Vamos determinar os limites de $ x $. Observando a equação $ z = 4 - x^{2} $, percebemos que $ z \geq 0 $, então:
x
Portanto, $ x $ varia de $ -2 $ a $ 2 $.

Passo 4

Agora, para cada valor de $ x $, vamos determinar os limites de $ z $. Como $ z $ está limitado por $ z = 0 $ e $ z = 4 - x^{2} $, temos:
x
Por fim, para cada par $ (x, z) $, vamos determinar os limites de $ y $. Sabemos que $ y \geq 0 $ e $ y + z \leq 5 $. Portanto:
z

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
I = integralx=-2^2 integralz=0^4 - x^2 integraly=0^5 - z (x - 1) , dy , dz , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a $ y $:
y
Agora, a integral fica:
integral0^5 - z (x - 1) , dy = (x - 1) cdot y g|0^5 - z = (x - 1)(5 - z)

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a $ z $:
z
Calculando os limites:
integral0^4 - x^2 (x - 1)(5 - z) , dz = (x - 1) [ 5z - z^22 ] g|0^4 - x^2
Vamos simplificar isso:
= (x - 1) [ 5(4 - x^2) - (4 - x^2)^22 ]
e
5(4 - x^2) = 20 - 5x^2
Portanto,
(4 - x^2)^22 = 16 - 8x^2 + x^42 = 8 - 4x^2 + x^42
Então, a integral fica:
5(4 - x^2) - (4 - x^2)^22 = (20 - 5x^2) - (8 - 4x^2 + x^42) = 12 - x^2 - x^42

Passo 8

Agora, vamos expandir a expressão:
(x - 1)(12 - x^2 - x^42) = x cdot 12 - x cdot x^2 - x cdot x^42 - 1 cdot 12 + 1 cdot x^2 + 1 cdot x^42
Simplificando:
= 12x - x^3 - x^52 - 12 + x^2 + x^42
Agora, organizando os termos:
= -x^52 + x^42 - x^3 + x^2 + 12x - 12

Passo 9

Vamos integrar termo a termo de $ x = -2 $ a $ x = 2 $:
x = -2
Calculando as integrais:
  1. $ \int -\frac{x^{5}}{2} , dx = -\frac{x^{6}}{12} $
  2. $ \int \frac{x^{4}}{2} , dx = \frac{x^{5}}{10} $
  3. $ \int -x^{3} , dx = -\frac{x^{4}}{4} $
  4. $ \int x^{2} , dx = \frac{x^{3}}{3} $
  5. $ \int 12x , dx = 6x^{2} $
  6. $ \int -12 , dx = -12x $
Então,
x = 2

Passo 10

Vamos calcular em $ x = 2 $ e $ x = -2 $:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Simplificando:
x = -2
Convertendo para denominador comum (15):
x = 2
Para $ x = -2 $:
-2^612 + 2^510 - 2^44 + 2^33 + 6 cdot 2^2 - 12 cdot 2 = -6412 + 3210 - 164 + 83 + 24 - 24
Simplificando:
= -163 + 165 - 4 + 83 + 0 = (-163 + 83) + 165 - 4 = -83 + 165 - 4
Convertendo para denominador comum (5):
= -4015 + 4815 - 6015 = -40 + 48 - 6015 = -5215

Passo 11

Agora, subtraímos os valores em $ x = 2 $ e $ x = -2 $:
x = 2

Resposta

O valor da integral tripla é $ I = -\dfrac{544}{15} $.

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