Calcule a integral
onde
é a região do espaço delimitada pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! A gente precisa calcular a integral
onde a região $ T $ é delimitada pelos planos $ y = 0 $, $ z = 0 $, $ y + z = 5 $ e $ z = 4 - x^{2} $. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral multivariado, especialmente integração em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender bem os limites de integração para cada variável $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ T $. Temos quatro planos que delimitam $ T $:
- $ y = 0 $: Isso é o plano $ xz $.
- $ z = 0 $: Plano $ xy $.
- $ y + z = 5 $: Um plano inclinado que corta os eixos $ y $ e $ z $ nos pontos $ y = 5 $ e $ z = 5 $.
- $ z = 4 - x^{2} $: Uma parábola invertida em $ x $, que abre para baixo no eixo $ z $.
Nossa estratégia é determinar os limites para $ x $, $ y $ e $ z $ e então configurar a integral tripla.
Passo 3
Vamos determinar os limites de $ x $. Observando a equação $ z = 4 - x^{2} $, percebemos que $ z \geq 0 $, então:
Portanto, $ x $ varia de $ -2 $ a $ 2 $.
Passo 4
Agora, para cada valor de $ x $, vamos determinar os limites de $ z $. Como $ z $ está limitado por $ z = 0 $ e $ z = 4 - x^{2} $, temos:
Por fim, para cada par $ (x, z) $, vamos determinar os limites de $ y $. Sabemos que $ y \geq 0 $ e $ y + z \leq 5 $. Portanto:
Passo 5
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a $ z $:
Calculando os limites:
Vamos simplificar isso:
e
Portanto,
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos expandir a expressão:
Simplificando:
Agora, organizando os termos:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo de $ x = -2 $ a $ x = 2 $:
Calculando as integrais:
- $ \int -\frac{x^{5}}{2} , dx = -\frac{x^{6}}{12} $
- $ \int \frac{x^{4}}{2} , dx = \frac{x^{5}}{10} $
- $ \int -x^{3} , dx = -\frac{x^{4}}{4} $
- $ \int x^{2} , dx = \frac{x^{3}}{3} $
- $ \int 12x , dx = 6x^{2} $
- $ \int -12 , dx = -12x $
Então,
Passo 10
Vamos calcular em $ x = 2 $ e $ x = -2 $:
Para $ x = 2 $:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum (15):
Para $ x = -2 $:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum (5):
Passo 11
Agora, subtraímos os valores em $ x = 2 $ e $ x = -2 $:
Resposta
O valor da integral tripla é $ I = -\dfrac{544}{15} $.