Obtenha por meio de integral dupla o volume do sólido limitado pelo paraboloide
, pelo plano
e pelo cilindro
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido limitado pelo paraboloide
, pelo plano
(que é onde
) e pelo cilindro
. Para isso, vamos usar uma integral dupla. Vamos precisar entender como configurar essa integral e talvez usar coordenadas polares para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido. O paraboloide
abre para cima, e o plano
é a base onde
. O cilindro
pode ser simplificado completando o quadrado. Vamos fazer isso para facilitar a visualização da região de integração.
Passo 3
Completando o quadrado na equação do cilindro:
Isso mostra que o cilindro é, na verdade, um círculo com raio
e centro em
no plano
.
Passo 4
Vamos mudar para coordenadas polares, já que a região de integração é circular. Em coordenadas polares, as equações ficam mais simples:
A equação do cilindro se torna:
Simplificando:
Então, a região de integração em coordenadas polares vai de
a
e de
a
.
Passo 5
Agora, vamos expressar a função que descreve o paraboloide em coordenadas polares. Temos:
O volume
será a integral dupla de
sobre a região
:
Note que multiplicamos por
devido ao jacobiano da mudança para coordenadas polares.
Passo 6
Vamos configurar a integral:
Primeiro, integremos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é
.