Obtenha por meio de integral dupla o volume do sólido limitado pelo paraboloide a z=x^2+y^2, pelo plano x y e pelo cilindro x^2+y^2=2 a x com a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido limitado pelo paraboloide a z = x^2 + y^2 , pelo plano xy (que é onde z = 0 ) e pelo cilindro x^2 + y^2 = 2 a x . Para isso, vamos usar uma integral dupla. Vamos precisar entender como configurar essa integral e talvez usar coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido. O paraboloide a z = x^2 + y^2 abre para cima, e o plano xy é a base onde z = 0 . O cilindro x^2 + y^2 = 2 a x pode ser simplificado completando o quadrado. Vamos fazer isso para facilitar a visualização da região de integração.

Passo 3

Completando o quadrado na equação do cilindro:
x^2 + y^2 = 2 a x implies x^2 - 2 a x + y^2 = 0 implies (x - a)^2 + y^2 = a^2
Isso mostra que o cilindro é, na verdade, um círculo com raio a e centro em (a, 0) no plano xy .

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas polares, já que a região de integração é circular. Em coordenadas polares, as equações ficam mais simples:
x = r cos theta, y = r sin theta
A equação do cilindro se torna:
(r cos theta - a)^2 + (r sin theta)^2 = a^2
Simplificando:
r^2 - 2 a r cos theta = 0 implies r = 2 a cos theta
Então, a região de integração em coordenadas polares vai de theta = -pi2 a theta = pi2 e de r = 0 a r = 2 a cos theta .

Passo 5

Agora, vamos expressar a função que descreve o paraboloide em coordenadas polares. Temos:
a z = x^2 + y^2 implies z = r^2a
O volume V será a integral dupla de z sobre a região R :
V = integral duplaR r^2a , r , dr , dtheta
Note que multiplicamos por r devido ao jacobiano da mudança para coordenadas polares.

Passo 6

Vamos configurar a integral:
V = integral-pi2^pi2 integral0^2 a cos theta r^3a , dr , dtheta
Primeiro, integremos em relação a r :
integral0^2 a cos theta r^3a , dr = 1a [ r^44 ]0^2 a cos theta = 1a cdot (2 a cos theta)^44 = 16 a^4 cos^4 theta4 a = 4 a^3 cos^4 theta

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta :
V = 4 a^3 integral-pi2^pi2 cos^4 theta , dtheta
Sabemos que:
integral-pi2^pi2 cos^4 theta , dtheta = 3 pi8
Portanto:
V = 4 a^3 cdot 3 pi8 = 12 pi a^38 = 3 pi a^32

Resposta

O volume do sólido é 3 pi a^32 .

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