Calcule a integral
I=integral duplaR x-3 y(3 x+y)^2 d A
onde a região R é a região englobada pela retas x-3 y=0, x-3 y=4,3 x+y=1 e 3 x+y=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
I=integral duplaR x-3 y(3 x+y)^2 , dA
onde a região R está delimitada pelas retas x - 3y = 0 , x - 3y = 4 , 3x + y = 1 e 3x + y = 3 . Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente mudança de variáveis para simplificar a integral. Vamos precisar usar substituição de coordenadas e calcular o determinante jacobiano para transformar a integral para um sistema mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição de variáveis para simplificar a expressão. Vamos definir:
u = x - 3y
v = 3x + y
Essas substituições são estratégicas porque as fronteiras da região R ficam mais simples em termos de u e v . Agora, precisamos expressar x e y em função de u e v .

Passo 3

Resolvendo as equações para x e y :
A partir de u = x - 3y , expressamos x em função de y :
x = u + 3y
Substituindo x na segunda equação v = 3x + y :
v = 3(u + 3y) + y = 3u + 9y + y = 3u + 10y
Agora, isolando y :
10y = v - 3u Rightarrow y = v - 3u10
E substituindo y de volta na expressão de x :
x = u + 3(v - 3u10) = 10u + 3v - 9u10 = u + 3v10
Então, temos:
x = u + 3v10, y = v - 3u10

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano J , que é essencial para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 110, partial xpartial v = 310
partial ypartial u = -310, partial ypartial v = 110
Então,
J = (110)(110) - (310)(-310) = 1100 + 9100 = 10100 = 110

Passo 5

Vamos reescrever a integral original em termos de u e v . Substituindo na integranda:
x - 3y(3x + y)^2 = uv^2
E a diferencial de área dA se transforma em |J| , du , dv :
dA = |110| , du , dv = 110 , du , dv
Portanto, a integral fica:
I = integral duplaR uv^2 cdot 110 , du , dv = 110 integral duplaR' uv^2 , du , dv
onde R' é a região transformada no plano uv .

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração para u e v :
As retas que delimitam R em termos de u e v são:
  • u = 0 e u = 4 (de x - 3y = 0 a x - 3y = 4 )
  • v = 1 e v = 3 (de 3x + y = 1 a 3x + y = 3 )
Então, os limites são:
0 <= u <= 4
1 <= v <= 3

Passo 7

Vamos agora calcular a integral:
I = 110 integralu=0^4 integralv=1^3 uv^2 , dv , du
Primeiro, integramos em relação a v :
integral1^3 uv^2 , dv = u integral1^3 v^-2 , dv = u [ -1v ]1^3 = u ( -13 + 1 ) = u ( 23 )
Então, a integral fica:
I = 110 integral0^4 u cdot 23 , du = 110 cdot 23 integral0^4 u , du
Agora, calculamos a integral de u em relação a u :
integral0^4 u , du = [ u^22 ]0^4 = 162 - 0 = 8
Substituindo de volta:
I = 110 cdot 23 cdot 8 = 1630 = 815

Resposta

O valor da integral é 815 .

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