Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
onde a região está delimitada pelas retas , , e . Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente mudança de variáveis para simplificar a integral. Vamos precisar usar substituição de coordenadas e calcular o determinante jacobiano para transformar a integral para um sistema mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição de variáveis para simplificar a expressão. Vamos definir:
Essas substituições são estratégicas porque as fronteiras da região ficam mais simples em termos de e . Agora, precisamos expressar e em função de e .
Passo 3
Resolvendo as equações para e :
A partir de , expressamos em função de :
Substituindo na segunda equação :
Agora, isolando :
E substituindo de volta na expressão de :
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano , que é essencial para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 110, partial xpartial v = 310
partial ypartial u = -310, partial ypartial v = 110