Calcule a integral
I=integral0^3 pi x^2 cos x d x
Resposta: (1) I=pi, (2) I=-2 pi, (3) I=6 pi, (4) I=-6 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral I=integral0^3pix^2cos x,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, usando a fórmula integral u,dv = uv - integral v,du. Como temos um produto de polinômio por cosseno, vamos aplicar partes duas vezes.

Passo 2

Na primeira aplicação, escolho u = x^2 e dv = cos x,dx. Então du = 2x,dx e v = sin x. Portanto fazemos
I = [x^2sin x]0^3pi - integral0^3pi 2xsin x,dx

Passo 3

O termo de contorno é
[x^2sin x]0^3pi = (3pi)^2sin(3pi) - 0 = 0
Logo
I = -2integral0^3pi xsin x,dx

Passo 4

Para integral0^3pi xsin x,dx, aplico partes de novo com u = x, dv = sin x,dx. Assim du = dx e v = -cos x. Temos
integral0^3pi xsin x,dx = [-xcos x]0^3pi + integral0^3pi cos x,dx

Passo 5

Agora calculo cada parte:
[-xcos x]0^3pi = -3picos(3pi) + 0 = 3pi, e
integral0^3picos x,dx = sin x|0^3pi = 0.
Logo
integral0^3pi xsin x,dx = 3pi
Substituindo em I = -2 times 3pi, concluímos que I = -6pi.

Resposta

-6pi

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