Usando integral tripla, calcule o volume do conjunto B dado.
B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 5-x^{2}-3 y^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le 5 - x^2 - 3y^2\}
e pede o volume de B. Para isso, vamos usar integral tripla em coordenadas cartesianas, aplicando o Teorema de Fubini para calcular
V = \iiint_{B} dV.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada e integramos primeiro em z:
V = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1}\!\int_{z=0}^{5 - x^2 - 3y^2} dz\,dy\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{5 - x^2 - 3y^2} dz = 5 - x^2 - 3y^2.

Passo 3

Substituímos o resultado e integramos em y:
\int_{y=0}^{1} \bigl(5 - x^2 - 3y^2\bigr) dy = (5 - x^2)\int_{0}^{1} dy \;-\; 3\int_{0}^{1} y^2 dy = (5 - x^2)\cdot1 \;-\; 3\cdot\frac{1}{3} = 4 - x^2.

Passo 4

Por fim, integramos em x:
\int_{x=0}^{1} (4 - x^2)\,dx = 4\int_{0}^{1}dx \;-\;\int_{0}^{1}x^2dx = 4\cdot1 \;-\;\frac{1}{3} = \frac{11}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{3}

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