Determine se a série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{2 n}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n},\quad a_{n}=\frac{n^{2}+1}{n^{2n}}.
O conteúdo usado aqui são testes de convergência para séries de termos positivos, em particular o teste da raiz.

Passo 2

Como a_{n}>0, podemos aplicar o teste da raiz, que diz: se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
existe e L<1, então a série \sum a_{n} converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{n^{2}+1}{n^{2n}}} = \frac{(n^{2}+1)^{1/n}}{n^{2}}.
Para n\to\infty vale (n^{2}+1)^{1/n}\to1 e n^{2}\to\infty. Portanto
L = \lim_{n\to\infty} \frac{(n^{2}+1)^{1/n}}{n^{2}} = 0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente e, em consequência, converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{2n}} converge.

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