Calcule a integral tripla
\iiint_{E} x y z d V,
em que E é a região acima do paraboloide z=x^{2}+y^{2} e abaixo do plano z=4.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} x y z \, dV,
onde E é a região no espaço limitada abaixo pelo plano z=4 e acima pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2}.\n
Informações dadas e o que isso implica (lista clara):
  • A superfície inferior de E é z=x^{2}+y^{2}.
  • A superfície superior de E é z=4.
  • Portanto, para cada ponto (x,y) no projeto no plano xy, z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=4.
  • O projeto de E no plano xy é o conjunto de (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\le 4 (pois onde o paraboloide fica abaixo do plano).
  • A integranda é x y z.

Passo 2

Motivação para a mudança de coordenadas e definição das coordenadas cilíndricas: \n
A projeção no plano xy é um disco de raio 2. Isso sugere usar coordenadas cilíndricas (ou polares no plano xy), porque círculos e discos ficam muito simples nessas coordenadas.\n
Definição das coordenadas cilíndricas que vamos usar:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo x.\n
Fórmula do elemento de volume em coordenadas cilíndricas: o jacobiano é r, portanto
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Explicação curta do jacobiano: quando passamos de (x,y) para (r,\theta) a área diferencial dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta; por isso dV=dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:\n
  • Para \theta percorremos todo o disco, então \theta vai de 0 até 2\pi: \theta\in[0,2\pi].\n
  • Para r, o disco tem raio 2, logo r\in[0,2].\n
  • Para z, em cada (r,\theta) temos z variando entre o paraboloide z=r^{2} (pois x^{2}+y^{2}=r^{2}) e o plano z=4. Logo z\in[r^{2},4].\n
    Portanto os limites são
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 2,\qquad r^{2}\le z\le 4.

Passo 4

Escrever a integranda em coordenadas cilíndricas: \n
Temos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Multiplicando com z e o jacobiano r obtemos
x y z\,dV = (r\cos\theta)(r\sin\theta)z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).
Agrupando os fatores em r,
x y z\,dV = r^{3}\cos\theta\sin\theta\; z\; dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Montar a integral com os limites encontrados:
\iiint_{E} x y z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4} r^{3}\cos\theta\sin\theta\; z\; dz\,dr\,d\theta.
Antes de calcular, observe uma simplificação trigonométrica útil:
\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
Assim o fator angular é proporcional a \sin(2\theta), que tem média zero ao integrar sobre um ciclo completo 0 a 2\pi.

Passo 6

Integrar primeiro em z (passo direto e simples):\n
Calcule
\int_{r^{2}}^{4} z\,dz = \left[\tfrac{z^{2}}{2}\right]_{z=r^{2}}^{z=4} = \tfrac{1}{2}\bigl(4^{2} - (r^{2})^{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(16 - r^{4}\bigr).
Substituindo na integral, obtemos
\iiint_{E} x y z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\cos\theta\sin\theta\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(16 - r^{4}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 7

Separar as partes que dependem de \theta das que dependem de r e usar o fato de que a integral angular é zero:\n
Escrevendo explicitamente,
\iiint_{E} x y z\,dV = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{2} r^{3}\bigl(16 - r^{4}\bigr)\,dr.
Aqui separamos porque a função se fatorou em uma parte só com \theta e outra só com r.\n
Agora calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = 0
porque \sin(2\theta) é uma função com período \pi e simétrica positiva/negativa no intervalo completo 0 a 2\pi. Portanto a integral angular vale 0, e multiplicando por qualquer integral radial obtemos 0.

Passo 8

Interpretação por simetria (intuição que confirma o cálculo):\n
A região E é simétrica em torno dos eixos x e y. A função x y z é ímpar em relação a trocar x por -x (ou y por -y) porque muda de sinal, enquanto a região é invariante por essas trocas. Logo as contribuições positivas e negativas se cancelam, o que também explica por que a integral é zero.

Resposta

0

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