Calcule a integral tripla
em que
é a região acima do paraboloide
e abaixo do plano
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral tripla
onde
é a região no espaço limitada abaixo pelo plano
e acima pelo paraboloide
.\n
Informações dadas e o que isso implica (lista clara):
Informações dadas e o que isso implica (lista clara):
- A superfície inferior de
é . - A superfície superior de
é . - Portanto, para cada ponto
no projeto no plano , varia de até . - O projeto de
no plano é o conjunto de tais que (pois onde o paraboloide fica abaixo do plano). - A integranda é
.
Passo 2
Motivação para a mudança de coordenadas e definição das coordenadas cilíndricas: \n
A projeção no plano é um disco de raio
. Isso sugere usar coordenadas cilíndricas (ou polares no plano
), porque círculos e discos ficam muito simples nessas coordenadas.\n
Definição das coordenadas cilíndricas que vamos usar:
A projeção no plano
Definição das coordenadas cilíndricas que vamos usar:
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo polar medido a partir do eixo
.\n
Fórmula do elemento de volume em coordenadas cilíndricas: o jacobiano é , portanto
Fórmula do elemento de volume em coordenadas cilíndricas: o jacobiano é
Explicação curta do jacobiano: quando passamos de
para
a área diferencial
transforma-se em
; por isso
.
Passo 3
Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:\n
- Para
percorremos todo o disco, então vai de até : .\n - Para
, o disco tem raio , logo .\n - Para
, em cada temos variando entre o paraboloide (pois ) e o plano . Logo .\n
Portanto os limites são
Passo 4
Escrever a integranda em coordenadas cilíndricas: \n
Temos e
. Multiplicando com
e o jacobiano
obtemos
Temos
Agrupando os fatores em
,
Passo 5
Montar a integral com os limites encontrados:
Antes de calcular, observe uma simplificação trigonométrica útil:
Assim o fator angular é proporcional a
, que tem média zero ao integrar sobre um ciclo completo
a
.
Passo 6
Integrar primeiro em
(passo direto e simples):\n
Calcule
Calcule
Substituindo na integral, obtemos
Passo 7
Separar as partes que dependem de
das que dependem de
e usar o fato de que a integral angular é zero:\n
Escrevendo explicitamente,
Escrevendo explicitamente,
Aqui separamos porque a função se fatorou em uma parte só com
e outra só com
.\n
Agora calcule a integral em :
Agora calcule a integral em
Mas
porque
é uma função com período
e simétrica positiva/negativa no intervalo completo
a
. Portanto a integral angular vale
, e multiplicando por qualquer integral radial obtemos
.
Passo 8
Interpretação por simetria (intuição que confirma o cálculo):\n
A região é simétrica em torno dos eixos
e
. A função
é ímpar em relação a trocar
por
(ou
por
) porque muda de sinal, enquanto a região é invariante por essas trocas. Logo as contribuições positivas e negativas se cancelam, o que também explica por que a integral é zero.
A região
Resposta
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