Considere a integral
Esboce o gráfico do domínio e expresse a integral
como uma única integral com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede duas coisas: (1) esboçar o gráfico do domínio de integração no plano
e (2) escrever
como uma única integral dupla com a ordem de integração invertida (ou seja, integrar primeiro em
e depois em
).\n
As informações relevantes do enunciado são:
As informações relevantes do enunciado são:
Não vamos resolver ainda: só identifiquei o que é pedido e listei as curvas que definem o domínio.
Passo 2
Vamos entender as fronteiras do domínio, uma por vez, e esboçar mentalmente (ou no caderno) o gráfico:
- A primeira peça tem a curva acima do eixo
dada por para entre e . Isso é o ramo de parábola que parte de até , e para cada nessa faixa o varia de até essa parábola. - A segunda peça tem a reta dada por
para entre e . Essa reta em dá (ponto ) e em dá (ponto ). Para cada nessa faixa o varia de até essa reta.
Portanto, o domínio é a região no primeiro quadrante limitada por: o eixo
(embaixo,
), a parábola
à esquerda/parte inferior até
e a reta
à direita/parte superior a partir de
descendo até
. Esboce: marque os pontos
, desenhe a parábola entre
e
e a reta entre
e
, e sombreie a região entre elas e o eixo
.
Passo 3
Precisamos saber onde a parábola e a reta se encontram para ver se o domínio é contínuo em
. Igualamos:
Multiplicando por
:
Resolvendo a quadrática: discriminante
. Assim
As raízes são
e
. A raiz relevante no nosso intervalo é
. Substituindo em
dá
. Logo as curvas se intersectam em
, como já percebemos.
Passo 4
Determine o intervalo total para
(que será o intervalo externo quando invertermos a ordem). Observando a região, o menor
é
(eixo
) e o maior
é
(no ponto de interseção
). Portanto
Passo 5
Para um
fixo com
, vamos encontrar os valores de
que pertencem à região.
Da primeira peça (parábola): as condições eram
e
. Para
fixo isto equivale a
como estamos em
. Combinando com
obtemos que, da primeira peça, para esse
os
válidos são
Da segunda peça (reta): as condições eram
e
. Para
fixo isso dá
Combinando com
obtemos, da segunda peça,
Passo 6
Agora juntamos os dois intervalos em
para um
fixo. Para
temos:
- a primeira peça dá
, - a segunda dá
.
Esses intervalos se juntam sem sobreposição preguiçosa (encontram-se em
), por isso o conjunto total de
para um
fixo é o intervalo contínuo
Verificações rápidas de borda: para
obtemos
(faz sentido: a região inclui toda a base de
até
em
); para
obtemos
, ponto único
(tudo coerente).
Passo 7
Portanto podemos escrever
invertendo a ordem de integração como uma única integral sobre
de
a
e sobre
de
a
: