Considere a integral
I=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) d y d x+\int_{1}^{3} \int_{0}^{\frac{3-x}{2}} f(x, y) d y d x
Esboce o gráfico do domínio e expresse a integral I como uma única integral com a ordem de integração invertida.

Passo 1

O enunciado dá a integral
I=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx+\int_{1}^{3} \int_{0}^{\frac{3-x}{2}} f(x,y)\,dy\,dx
e pede duas coisas: (1) esboçar o gráfico do domínio de integração no plano xy e (2) escrever I como uma única integral dupla com a ordem de integração invertida (ou seja, integrar primeiro em x e depois em y).\n
As informações relevantes do enunciado são:
\text{para }0\le x\le 1:\quad 0\le y\le x^{2},
\text{para }1\le x\le 3:\quad 0\le y\le \frac{3-x}{2}.
Não vamos resolver ainda: só identifiquei o que é pedido e listei as curvas que definem o domínio.

Passo 2

Vamos entender as fronteiras do domínio, uma por vez, e esboçar mentalmente (ou no caderno) o gráfico:
  • A primeira peça tem a curva acima do eixo x dada por y=x^{2} para x entre 0 e 1. Isso é o ramo de parábola que parte de (0,0) até (1,1), e para cada x nessa faixa o y varia de 0 até essa parábola.
  • A segunda peça tem a reta dada por y=\dfrac{3-x}{2} para x entre 1 e 3. Essa reta em x=1 y=1 (ponto (1,1)) e em x=3 y=0 (ponto (3,0)). Para cada x nessa faixa o y varia de 0 até essa reta.
Portanto, o domínio é a região no primeiro quadrante limitada por: o eixo x (embaixo, y=0), a parábola y=x^{2} à esquerda/parte inferior até (1,1) e a reta y=(3-x)/2 à direita/parte superior a partir de (1,1) descendo até (3,0). Esboce: marque os pontos (0,0), (1,1), (3,0), desenhe a parábola entre (0,0) e (1,1) e a reta entre (1,1) e (3,0), e sombreie a região entre elas e o eixo y=0.

Passo 3

Precisamos saber onde a parábola e a reta se encontram para ver se o domínio é contínuo em x. Igualamos:
x^{2}=\frac{3-x}{2}.
Multiplicando por 2:
2x^{2}=3-x
2x^{2}+x-3=0.
Resolvendo a quadrática: discriminante \Delta = 1-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25. Assim
x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{-1\pm5}{4}.
As raízes são x=1 e x=-\tfrac{3}{2}. A raiz relevante no nosso intervalo é x=1. Substituindo em y=x^{2} y=1. Logo as curvas se intersectam em (1,1), como já percebemos.

Passo 4

Determine o intervalo total para y (que será o intervalo externo quando invertermos a ordem). Observando a região, o menor y é 0 (eixo x) e o maior y é 1 (no ponto de interseção (1,1)). Portanto
0\le y\le 1.

Passo 5

Para um y fixo com 0\le y\le 1, vamos encontrar os valores de x que pertencem à região.
Da primeira peça (parábola): as condições eram 0\le x\le 1 e 0\le y\le x^{2}. Para y fixo isto equivale a
x^{2}\ge y\quad\Rightarrow\quad x\ge \sqrt{y},
como estamos em x\ge 0. Combinando com x\le 1 obtemos que, da primeira peça, para esse y os x válidos são
\sqrt{y}\le x\le 1.
Da segunda peça (reta): as condições eram 1\le x\le 3 e 0\le y\le \tfrac{3-x}{2}. Para y fixo isso dá
\frac{3-x}{2}\ge y\quad\Rightarrow\quad x\le 3-2y.
Combinando com x\ge 1 obtemos, da segunda peça,
1\le x\le 3-2y.

Passo 6

Agora juntamos os dois intervalos em x para um y fixo. Para 0\le y\le 1 temos:
  • a primeira peça dá x\in [\sqrt{y},\,1],
  • a segunda dá x\in [1,\,3-2y].
Esses intervalos se juntam sem sobreposição preguiçosa (encontram-se em x=1), por isso o conjunto total de x para um y fixo é o intervalo contínuo
\sqrt{y}\le x\le 3-2y.
Verificações rápidas de borda: para y=0 obtemos x\in[0,3] (faz sentido: a região inclui toda a base de x=0 até x=3 em y=0); para y=1 obtemos x\in[1,1], ponto único (1,1) (tudo coerente).

Passo 7

Portanto podemos escrever I invertendo a ordem de integração como uma única integral sobre y de 0 a 1 e sobre x de \sqrt{y} a 3-2y:
I=\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{\,3-2y} f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

I=\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{\,3-2y} f(x,y)\,dx\,dy

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