Calcule a integral
\iint_{D} \sqrt{R-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
onde D é o conjunto limitado pela circunferência x^{2}+y^{2}=R^{2}. Dica: Exercício feito em sala.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
onde D é o disco x^2+y^2\le R^2.
O conteúdo envolvido é a mudança para coordenadas polares e a avaliação de uma integral do tipo \int_0^R r\sqrt{R^2-r^2}\,\mathrm{d}r.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta,
e a região D vira
0\le r\le R,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
Logo a integral fica
\iint_{D}\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{R^2 - r^2}\;r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Focamos na integral em r:
\int_{0}^{R}r\sqrt{R^2 - r^2}\,\mathrm{d}r.
Fazemos a substituição u=R^2-r^2, \mathrm{d}u=-2r\,\mathrm{d}r, de modo que
r\,\mathrm{d}r = -\tfrac12\,\mathrm{d}u, \quad r=0\Rightarrow u=R^2, \quad r=R\Rightarrow u=0.
Assim
\int_{0}^{R}r\sqrt{R^2 - r^2}\,\mathrm{d}r =\int_{R^2}^{0}-\tfrac12\,\sqrt{u}\,\mathrm{d}u =\tfrac12\int_{0}^{R^2}u^{1/2}\,\mathrm{d}u =\tfrac12\cdot \frac{2}{3}(R^2)^{3/2} =\frac{1}{3}R^3.

Passo 4

Voltando à integral dupla, multiplicamos pelo fator angular:
\int_{0}^{2\pi}\biggl(\frac{1}{3}R^3\biggr)\mathrm{d}\theta =\frac{1}{3}R^3\cdot 2\pi =\frac{2\pi R^3}{3}.

Resposta

\iint_{D}\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{2\pi R^3}{3}.

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