Exercício 4

Usando o método de Fibonacci, encontre o valor m’ınimo da fun cão objetivo (Equaç ões 5 e 6). Dados: intervalo inicial L_{0}=\left[\begin{array}{ll}-2 & 3\end{array}\right] e L_{0}=\left[\begin{array}{ll}0 & 6\end{array}\right] respectivamente, precisão \epsilon=2 / 21 (aproximadamente 9,5 \% do intervalo inicial). Fa ca uma tabela com os valores dos parâmetros em cada iteração.
\begin{gathered} f(x)=8 x-16 \cos (x) \\\ f(x)=2 x^{2}+\frac{8}{x} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para minimizar duas funções unimodais
f_1(x)=8x - 16\cos(x) \quad\text{em}\quad[-2,3],
f_2(x)=2x^2 + \frac{8}{x} \quad\text{em}\quad[0,6],
usando o método de Fibonacci até que o comprimento do intervalo seja no máximo \displaystyle \varepsilon=\tfrac{2}{21}\approx0{,}0952.
Para isso precisamos:
  1. Calcular N tal que F_N\ge (b_0-a_0)/\varepsilon.
  2. Em cada iteração k 1\le k\le N-1 definir
    \lambda_k = a_k + \dfrac{F_{N-k-1}}{F_{N-k+1}}(b_k-a_k),
    \mu_k = a_k + \dfrac{F_{N-k }}{F_{N-k+1}}(b_k-a_k),
    avaliar f(\lambda_k), f(\mu_k) e atualizar o intervalo.
  3. Parar quando (b_k-a_k)\le\varepsilon.

Passo 2

Para f_1 em [-2,3]:
L_0=b_0-a_0 = 3 - (-2) = 5, \quad \frac{L_0}{\varepsilon} = \frac{5}{2/21}=52{,}5.
A menor N com F_N\ge52{,}5 é N=10 (pois F_{10}=55).
Logo teremos N-1=9 comparações.

Passo 3

Tabela das 9 iterações para f_1.
Os valores de F_k usados:
F_0=0,\;F_1=1,\;F_2=1,\;F_3=2,\;F_4=3,\;F_5=5,\;F_6=8,\;F_7=13,\;F_8=21,\;F_9=34,\;F_{10}=55.
k│ a_k b_k │ λₖ │ μₖ │ f_{1}(λₖ) │ f_{1}(μₖ) │ [aₖ₊₁,bₖ₊₁]
–│----------│----------│---------│---------│-----------│-----------│------------
1 │ −2,0000 │ 3,0000 │ −0,0909 │ 1,0909 │ −16,6617 │ 1,3369 │ [−2,0000 ,1,0909]
2 │ −2,0000 │ 1,0909 │ −0,8173 │ −0,0909 │ −17,5277 │ −16,6617 │ [−2,0000 ,−0,0909]
3 │ −2,0000 │ −0,0909 │ −1,2727 │ −0,8182 │ −14,8664 │ −17,5154 │ [−1,2727 ,−0,0909]
4 │ −1,2727 │ −0,0909 │ −0,8182 │ −0,5455 │ −17,5154 │ −18,0548 │ [−0,8182 ,−0,0909]
5 │ −0,8182 │ −0,0909 │ −0,5455 │ −0,3636 │ −18,0548 │ −17,8446 │ [−0,8182 ,−0,3636]
6 │ −0,8182 │ −0,3636 │ −0,6341 │ −0,5477 │ −17,9332 │ −17,9921 │ [−0,6341 ,−0,3636]
7 │ −0,6341 │ −0,3636 │ −0,5043 │ −0,4934 │ −17,8961 │ −17,9910 │ [−0,5043 ,−0,3636]
8 │ −0,5043 │ −0,3636 │ −0,4295 │ −0,4384 │ −17,9404 │ −17,9880 │ [−0,4295 ,−0,3636]
9 │ −0,4295 │ −0,3636 │ −0,3888 │ −0,4043 │ −17,9587 │ −17,9872 │ [−0,3888 ,−0,3636]
Após a 9ª iteração o intervalo final é [-0,3888,\,-0,3636] cujo comprimento 0{,}0252<\varepsilon=0{,}0952.

Passo 4

Para f_2 em [0,6]:
L_0=6,\quad \frac{6}{2/21}=63.
A menor N com F_N\ge63 é N=11 F_{11}=89,
portanto teremos 10 comparações.

Passo 5

Tabela das 10 iterações para f_2.
Usamos os mesmos F_k e as fórmulas de \lambda_k,\mu_k.
k│ a_k b_k │ λₖ │ μₖ │ f_{2}(λₖ) │ f_{2}(μₖ) │ [aₖ₊₁,bₖ₊₁]
–│----------│----------│---------│---------│-----------│-----------│------------
1 │ 0,0000 │ 6,0000 │ 1,5636 │ 3,4364 │ 11,860 │ 30,997 │ [ 0,0000,1,5636]
2 │ 0,0000 │ 1,5636 │ 0,5077 │ 1,0559 │ 16,002 │ 6,141 │ [ 0,0000,1,0559]
3 │ 0,0000 │ 1,0559 │ 0,2970 │ 0,7589 │ 26,923 │ 4,188 │ [ 0,0000,0,7589]
4 │ 0,0000 │ 0,7589 │ 0,2486 │ 0,5103 │ 32,709 │ 9,728 │ [ 0,2486,0,7589]
5 │ 0,2486 │ 0,7589 │ 0,3555 │ 0,6519 │ 5,937 │ 8,041 │ [ 0,2486,0,6519]
6 │ 0,2486 │ 0,6519 │ 0,3212 │ 0,5793 │ 8,294 │ 6,604 │ [ 0,3212,0,6519]
7 │ 0,3212 │ 0,6519 │ 0,4475 │ 0,5256 │ 10,708 │ 7,001 │ [ 0,3212,0,5256]
8 │ 0,3212 │ 0,5256 │ 0,4294 │ 0,4174 │ 10,099 │ 11,226 │ [ 0,4174,0,5256]
9 │ 0,4174 │ 0,5256 │ 0,4940 │ 0,4489 │ 11,275 │ 11,326 │ [ 0,4174,0,4940]
10│ 0,4174 │ 0,4940 │ 0,4610 │ 0,4504 │ 10,876 │ 11,357 │ [ 0,4174,0,4610]
Após a 10ª iteração o intervalo final é [0,4174,\,0,4610] com comprimento 0{,}0436<\varepsilon.

Passo 6

Como aproximamos o mínimo por qualquer ponto no intervalo final, escolhemos o ponto médio.
Para f_1:
x^*_1 \approx \frac{-0,3888 + (-0,3636)}{2} = -0,3762, \quad f_1(x^*_1)\approx 8(-0.3762)-16\cos(-0.3762)\approx -17,97.
Para f_2:
x^*_2 \approx \frac{0,4174 + 0,4610}{2} = 0,4392, \quad f_2(x^*_2)\approx 2(0.4392)^2 + \frac{8}{0.4392}\approx 10,88.

Resposta

Para f_1:
Intervalo final [-0,3888,\,-0,3636], x^*_1\approx -0,3762, f_1(x^*_1)\approx -17,97.
Para f_2:
Intervalo final [0,4174,\,0,4610], x^*_2\approx 0,4392, f_2(x^*_2)\approx 10,88.

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