Questão 4 Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+3 \cos (t) \mathbf{j}+3 \operatorname{sen}(t) \mathbf{k}, \quad-5 \leq t \leq 5
e determine sua parametrização por comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\mathbf r(t)=\bigl\langle t,\;3\cos t,\;3\sin t\bigr\rangle, \quad -5\le t\le5,
e pede (1) o comprimento dessa curva e (2) sua reparametrização por comprimento de arco.
Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas e depois montar a função s(t) e invertê-la.

Passo 2

Calculamos a derivada
\mathbf r'(t) =\bigl\langle 1,\;-3\sin t,\;3\cos t\bigr\rangle
e sua norma
\|\mathbf r'(t)\| =\sqrt{1^2+(-3\sin t)^2+(3\cos t)^2} =\sqrt{1+9(\sin^2t+\cos^2t)} =\sqrt{10}.

Passo 3

Como \|\mathbf r'(t)\| é constante, o comprimento total fica
L =\int_{-5}^{5}\|\mathbf r'(t)\|\,dt =\int_{-5}^{5}\sqrt{10}\,dt =10\sqrt{10}.

Passo 4

Definimos o parâmetro de arco iniciando em t=-5:
s(t) =\int_{-5}^{t}\|\mathbf r'(\tau)\|\,d\tau =\sqrt{10}\,(t+5).
Invertendo,
t(s)=\frac{s}{\sqrt{10}}-5,
e a reparametrização é
\mathbf r(s) =\mathbf r\bigl(t(s)\bigr) =\Bigl\langle\frac{s}{\sqrt{10}}-5,\;3\cos\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}-5\bigr),\;3\sin\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}-5\bigr)\Bigr\rangle,
com 0\le s\le10\sqrt{10}.

Resposta

O comprimento da curva é 10\sqrt{10}.
A parametrização por comprimento de arco é
\mathbf r(s) =\Bigl\langle\frac{s}{\sqrt{10}}-5,\;3\cos\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}-5\bigr),\;3\sin\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}-5\bigr)\Bigr\rangle, \quad 0\le s\le10\sqrt{10}.

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