. Determine a tração desenvolvida nos três cabos necessária para suportar o semáforo, que tem uma massa de 15 kg . Considere \mathrm{h}=4 \mathrm{~m}.

Passo 1

Vamos primeiro escolher um sistema de coordenadas e ler todas as dimensões do problema a partir da figura. Adotamos:
– eixo x apontando para a esquerda na base da figura,
– eixo y saindo da página em direção a você,
– eixo z para cima.
Do enunciado e da figura tiramos:
  1. A massa do semáforo é m=15~\mathrm{kg}, logo o peso é
W = m\,g = 15\cdot 9{,}81 = 147{,}15~\mathrm{N}.
  1. Há três cabos presos em A que vão até os topos de três postes:
  • Poste C de altura 6~\mathrm{m} em (0,6,6),
  • Poste B de altura 4~\mathrm{m} em (3,0,4),
  • Poste D de altura 4~\mathrm{m} em (-4,0,4).
  1. A ponta A do conjunto de cabos está na extremidade superior do semáforo e fica a h=4~\mathrm{m} acima do chão. Assim o ponto A tem coordenadas
A = (\,0,\,0,\,4\,).
Em cada cabo a força de tração T_i atua sobre o semáforo no sentido do respectivo poste. Para escrever a condição de equilíbrio \sum\vec F=0, precisamos dos vetores unitários de cada cabo.

Passo 2

Calcular os vetores posição de A até cada poste e seus respectivos versores.
  1. Cabo AC:
\vec r_{AC} = C - A = (0-0,\;6-0,\;6-4) = (0,\;6,\;2),
L_{AC}=\|\vec r_{AC}\|=\sqrt{0^2+6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10},
\hat u_{AC}=\frac{\vec r_{AC}}{L_{AC}} =\frac{1}{2\sqrt{10}}\,(0,\;6,\;2) =\bigl(0,\;\tfrac{6}{2\sqrt{10}},\;\tfrac{2}{2\sqrt{10}}\bigr) =\bigl(0,\;\tfrac{3}{\sqrt{10}},\;\tfrac{1}{\sqrt{10}}\bigr).
  1. Cabo AB:
\vec r_{AB} = B - A = (3-0,\;0-0,\;4-4) = (3,\;0,\;0),
L_{AB} = \|\vec r_{AB}\| = \sqrt{3^2+0+0}=3,
\hat u_{AB}=\frac{\vec r_{AB}}{3}=(1,\;0,\;0).
  1. Cabo AD:
\vec r_{AD} = D - A = (-4-0,\;0-0,\;4-4) = (-4,\;0,\;0),
L_{AD} = \|\vec r_{AD}\| = 4,
\hat u_{AD}=\frac{\vec r_{AD}}{4}=(-1,\;0,\;0).

Passo 3

Escrever as três equações de equilíbrio de forças em x, y e z.
Sejam T_C,T_B,T_D as trações nos cabos AC, AB e AD, respectivamente.
A equação vetorial \sum\vec F=0 dá, em componentes:
(i) Direção x:
T_C\cdot0 \;+\; T_B\cdot1 \;+\; T_D\cdot(-1)\;+\;0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad T_B - T_D = 0.
(ii) Direção y:
T_C\cdot\frac{3}{\sqrt{10}} \;+\; T_B\cdot0 \;+\; T_D\cdot0 \;+\;0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{\sqrt{10}}\,T_C = 0 \quad\Longrightarrow\quad T_C = 0.
(iii) Direção z:
T_C\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} \;+\; T_B\cdot0 \;+\; T_D\cdot0 \;-\; W = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{10}}\,T_C = W.

Passo 4

Da equação em y obtivemos T_C=0, e da em z que \tfrac1{\sqrt{10}}\,T_C=W.
Estas duas são inconsistentes a não ser que W=0, o que não é o caso.
Isso significa que nossa leitura das posições horizontais dos postes (que levou a componentes nulas em alguns eixos) está incorreta. Sem uma descrição inequívoca das coordenadas horizontais de A, B, C e D não há como resolver o problema.

Resposta

Não é possível determinar as trações sem que a posição exata (em x e y) dos pontos de ancoragem nos postes seja dada de modo inequívoco.

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