Esboce a curva e determine a equação cartesiana das funções vetoriais
\gamma(t)=(-\cos t, \sin t), t \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(-\cos t,\;\sin t\bigr), com t\in[0,2\pi], e pede (1) esboçar a curva e (2) encontrar sua equação cartesiana. Vamos usar eliminação de parâmetro e a identidade trigonométrica \sin^2t+\cos^2t=1.

Passo 2

Escrevemos as componentes
x(t) = -\cos t, \quad y(t) = \sin t.
Dessas, isolamos \cos t = -\,x e \sin t = y.

Passo 3

Aplicamos a identidade
\sin^2t + \cos^2t = 1
substituindo \sin t = y e \cos t = -x, obtemos
y^2 + (-x)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 1.

Passo 4

A curva é o círculo de raio 1 centrado na origem. Quando t=0, \gamma(0)=(-1,0). Ao aumentar t, o ponto vai de (-1,0) para (0,1), depois para (1,0), (0,-1) e retorna a (-1,0) em t=2\pi. Ou seja, percorre o círculo no sentido anti-horário.

Resposta

A equação cartesiana é
x^2 + y^2 = 1,
e o esboço é o círculo unidade com orientação anti-horária, iniciando em (-1,0).

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