Se D é o o paralelogramo de vértices (1,0),(4,3),(1,6) e (-2,3), determine a região que obteríamos aplicando a transformação x=\frac{1}{2}(v-u), y=\frac{1}{2}(v+u) em D.

Passo 1

O enunciado dá o paralelogramo D com vértices (1,0), (4,3), (1,6) e (-2,3) e pede a região que se obtém ao aplicar a transformação
x=\frac{1}{2}(v-u),\qquad y=\frac{1}{2}(v+u)
em D.
Informações relevantes fornecidas:
\text{vértices de }D:\; (1,0),\; (4,3),\; (1,6),\; (-2,3).é
\text{transformação: } x=\frac{v-u}{2},\; y=\frac{v+u}{2}.çã
A tarefa é encontrar a imagem de D no plano (u,v).

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a transformação de forma que possamos calcular a imagem de pontos: ou seja, obter u e v em função de x e y. Começamos multiplicando as equações por 2:
2x = v - u,\qquad 2y = v + u.
Agora somamos as duas equações e subtraímos uma da outra para isolar u e v.

Passo 3

Some as duas equações:
2x + 2y = (v-u) + (v+u) = 2v \quad\Rightarrow\quad v = x + y.
Subtraia a primeira equação da segunda:
2y - 2x = (v+u) - (v-u) = 2u \quad\Rightarrow\quad u = y - x.
Portanto a transformação inversa (que dá (u,v) a partir de (x,y)) é
u = y - x,\qquad v = x + y.

Passo 4

Agora aplicamos essa fórmula a cada vértice de D. Vou calcular passo a passo.
Para (x,y)=(1,0):
u = y-x = 0-1 = -1,\qquad v = x+y = 1+0 = 1.
Logo imagem: (-1,1).
Para (x,y)=(4,3):
u = 3-4 = -1,\qquad v = 4+3 = 7.
Logo imagem: (-1,7).
Para (x,y)=(1,6):
u = 6-1 = 5,\qquad v = 1+6 = 7.
Logo imagem: (5,7).
Para (x,y)=(-2,3):
u = 3-(-2) = 5,\qquad v = -2+3 = 1.
Logo imagem: (5,1).

Passo 5

Temos, portanto, os quatro vértices da imagem em (u,v):
(-1,1),\; (-1,7),\; (5,7),\; (5,1).
Repare que as abscissas u valem apenas -1 ou 5 e as ordenadas v valem apenas 1 ou 7. Isso significa que a imagem é um retângulo alinhado com os eixos u e v.

Passo 6

Descrevendo esse retângulo em termos de desigualdades: os pontos da imagem satisfazem
-1 \le u \le 5,\qquad 1 \le v \le 7.
(Isto decorre diretamente dos valores mínimos e máximos de u e v entre os vértices calculados.)

Passo 7

Breve observação útil para a prova: a transformação é linear e invertível (vemos que a inversa é u=y-x,\;v=x+y), por isso ela envia paralelogramos em paralelogramos. Neste caso específico o paralelogramo foi enviado para um retângulo alinhado aos eixos u,v.

Resposta

\{(u,v)\mid -1\le u\le 5,\;1\le v\le 7\}

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