Se
é o o paralelogramo de vértices
e
, determine a região que obteríamos aplicando a transformação
em
.
Passo 1
O enunciado dá o paralelogramo
com vértices
,
,
e
e pede a região que se obtém ao aplicar a transformação
em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é encontrar a imagem de
no plano
.
Passo 2
Primeiro precisamos escrever a transformação de forma que possamos calcular a imagem de pontos: ou seja, obter
e
em função de
e
. Começamos multiplicando as equações por
:
Agora somamos as duas equações e subtraímos uma da outra para isolar
e
.
Passo 3
Some as duas equações:
Subtraia a primeira equação da segunda:
Portanto a transformação inversa (que dá
a partir de
) é
Passo 4
Agora aplicamos essa fórmula a cada vértice de
. Vou calcular passo a passo.
Para
:
Logo imagem:
.
Para
:
Logo imagem:
.
Para
:
Logo imagem:
.
Para
:
Logo imagem:
.
Passo 5
Temos, portanto, os quatro vértices da imagem em
:
Repare que as abscissas
valem apenas
ou
e as ordenadas
valem apenas
ou
. Isso significa que a imagem é um retângulo alinhado com os eixos
e
.
Passo 6
Descrevendo esse retângulo em termos de desigualdades: os pontos da imagem satisfazem
(Isto decorre diretamente dos valores mínimos e máximos de
e
entre os vértices calculados.)
Passo 7
Breve observação útil para a prova: a transformação é linear e invertível (vemos que a inversa é
), por isso ela envia paralelogramos em paralelogramos. Neste caso específico o paralelogramo foi enviado para um retângulo alinhado aos eixos
.