Calcule a integral \iint_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d S, onde S=S_{1} \cup S_{2}, sendo S_{1} a superfície de revolução gerada por z=1-x, 0 \leq x \leq 1, girando em torno do eixo dos z. E S_{2} é a tampa de S_{1} (um disco de raio I no plano x y ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS
onde S=S_{1}\cup S_{2}. Aqui o conteúdo é integral de superfície de uma função escalar, e precisamos usar:
– Para cada pedaço S_i, um parâmetro conveniente e a fórmula
dS = \bigl\lvert \mathbf r_u\times \mathbf r_v\bigr\rvert\,du\,dv.
– Para o disco S_2 no plano z=0, coordenadas polares no plano servem bem.

Passo 2

Analisando S_2: é o disco de raio 1 em z=0. Nele dS=dx\,dy e em coordenadas polares (r,\theta) temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi,
com dx\,dy = r\,dr\,d\theta e \sqrt{x^2+y^2}=r. Então
\iint_{S_2}\sqrt{x^2+y^2}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{0}^{1}r^2\,dr =2\pi\cdot\frac{1}{3} =\frac{2\pi}{3}.

Passo 3

Agora S_1 é o cone gerado por girar a reta z=1-x, 0\le x\le1, em torno do eixo z. Uma parametrização conveniente é
\mathbf r(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;1-r\bigr), \quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi.
Então
\mathbf r_r=(\cos\theta,\sin\theta,-1),\qquad \mathbf r_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,0)
e
\bigl\lvert \mathbf r_r\times \mathbf r_\theta\bigr\rvert = r\sqrt{2},
como mostra o cálculo do determinante. O integrando é \sqrt{x^2+y^2}=r, logo
\iint_{S_1}\sqrt{x^2+y^2}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r\;\bigl(r\sqrt2\,dr\,d\theta\bigr) =\sqrt2\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{0}^{1}r^2\,dr =\sqrt2\cdot2\pi\cdot\frac{1}{3} =\frac{2\pi\sqrt2}{3}.

Passo 4

Somando as partes S_1 e S_2, obtemos
\iint_{S}\sqrt{x^2+y^2}\,dS =\frac{2\pi\sqrt2}{3}+\frac{2\pi}{3} =\frac{2\pi}{3}\bigl(1+\sqrt2\bigr).

Resposta

\frac{2\pi}{3}\bigl(1+\sqrt2\bigr).

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