Determine a área da superfície parametrizada por
r(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, v),(u, v) \in[-1,1] \times[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado fornece a superfície parametrizada por
r(u,v) = \bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;v\bigr),
com (u,v)\in[-1,1]\times[0,2\pi], e pede a área dessa superfície.
O conteúdo teórico aqui é o cálculo de área de superfície por parametrização, que usa a fórmula
\text{Área} = \iint_D \bigl\lVert r_u \times r_v\bigr\rVert\,du\,dv,Á
onde r_u e r_v são as derivadas parciais de r.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais:
r_u(u,v) = \bigl(\cos v,\;\sin v,\;0\bigr),
r_v(u,v) = \bigl(-u\sin v,\;u\cos v,\;1\bigr).
Em seguida, fazemos o produto vetorial
r_u \times r_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \cos v & \sin v & 0\\\\ -\,u\sin v & u\cos v & 1 \end{vmatrix} = \bigl(\sin v,\;-\,\cos v,\;u\bigr).

Passo 3

A norma desse vetor é
\bigl\lVert r_u \times r_v\bigr\rVert = \sqrt{\sin^2v + \cos^2v + u^2} = \sqrt{1 + u^2}.
Logo a área vira
\text{Área} = \int_{v=0}^{2\pi}\int_{u=-1}^{1} \sqrt{1+u^2}\;du\,dv.Á

Passo 4

Como o integrando não depende de v, separamos a integral:
\text{Área} = \Bigl(\int_{v=0}^{2\pi} dv\Bigr) \Bigl(\int_{u=-1}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du\Bigr) = 2\pi\int_{-1}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du.Á
Pela simetria em u,
\int_{-1}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du = 2\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du,
então
\text{Área} = 4\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du.Á

Passo 5

Agora usamos a primitiva conhecida
\int \sqrt{1+u^2}\,du =\frac{u\sqrt{1+u^2}}{2} +\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr),
avaliada de 0 a 1. Isso dá
\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du =\frac{1\cdot\sqrt{2}}{2} +\frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr) -\Bigl(0 + \tfrac12\ln1\Bigr) =\frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}.
Multiplicando por 4\pi, obtemos a área final.

Resposta

\boxed{ \text{Área} = 2\pi\bigl(\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})\bigr). }Á

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