Calcule a integral de superfície \iint_{S} x d S, se S é a superfície definida por z=x^{2},(x, y) \in [-1,1] \times[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S} x\,dS
onde S é o gráfico de z=x^{2} sobre o retângulo (x,y)\in[-1,1]\times[-1,1].
O conteúdo aqui é integração de função sobre superfície gráfica z=f(x,y). Vamos usar a fórmula
dS = \sqrt{1+\bigl(f_x\bigr)^2+\bigl(f_y\bigr)^2}\,dA,
e depois verificar simetria para simplificar.

Passo 2

Como S é gráfico de z=f(x,y)=x^2, temos
\frac{\partial z}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=0.

Passo 3

Logo
dS =\sqrt{1+(2x)^2+0^2}\,dA =\sqrt{1+4x^2}\,dx\,dy.
A integral de superfície vira
\iint_{S} x\,dS =\iint_{D} x\,\sqrt{1+4x^2}\,dx\,dy,
onde D=[-1,1]\times[-1,1].

Passo 4

Podemos separar a integral em x e y:
\iint_{D} x\,\sqrt{1+4x^2}\,dx\,dy =\Bigl(\int_{-1}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\,dx\Bigr) \Bigl(\int_{-1}^{1}dy\Bigr).
Sabendo que \int_{-1}^{1}dy=2, resta
2\int_{-1}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\,dx.

Passo 5

A função x\sqrt{1+4x^2} é ímpar, pois
(-x)\sqrt{1+4(-x)^2} =-\,x\sqrt{1+4x^2}.
Integrar uma função ímpar em [-1,1] dá zero. Portanto
\int_{-1}^{1}x\sqrt{1+4x^2}\,dx=0
e a integral total é zero.

Resposta

0

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