Exercício: Encontre uma sel. particular das EDO’s:
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=3 \operatorname{sen} x-5 \cos x

Passo 1

O enunciado dá a EDO de coeficientes constantes
y^{(4)} + 2y'' + y = 3\sin x - 5\cos x
e pede uma solução particular. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados e explorar a fatoração do operador diferencial.

Passo 2

O polinômio característico da parte homogênea é
r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2 = 0,
cuja raiz r=\pm i tem multiplicidade 2. Isso gera a solução homogênea
y_h = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x.

Passo 3

O termo forçante é combinação de \cos x e \sin x, que já aparecem na solução homogênea com multiplicidade 2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, escolhemos o ansatz
y_p(x) = x^2\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).

Passo 4

Defina u(x)=A\cos x+B\sin x e o operador M=D^2+1. Então
L = M^2,\quad y_p = x^2 u.
Calcula-se
M(x^2u)=D^2(x^2u)+x^2u =x^2(u''+u)+4x u' +2u =4x u' +2u
pois u''+u=0. Em seguida
L(y_p)=M\bigl(M(x^2u)\bigr)=M\bigl(4x u'+2u\bigr) =D^2(4xu'+2u)+(4xu'+2u) =4x u'''+10u''+4x u'+2u.
Como u'''=-u' e u''=-u, obtemos
L(y_p)=-8u=-8\bigl(A\cos x+B\sin x\bigr).

Passo 5

Queremos L(y_p)=3\sin x-5\cos x. Logo
-8A\cos x-8B\sin x= -5\cos x+3\sin x
implica
-8A=-5\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{5}{8}, \qquad -8B=3\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{3}{8}.

Resposta

y_p(x)=\frac{x^2}{8}\bigl(5\cos x-3\sin x\bigr).

Exercícios relacionados