Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície
Isto é, uma função de duas variáveis cujo gráfico vive em
. Para desenhar, vamos usar coordenadas cilíndricas e analisar curvas de nível e seções planas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
Substituindo em
, obtemos
Isso mostra que
depende apenas da distância
ao eixo
.
Passo 3
As curvas de nível são dadas por
fixo. Da relação
segue
Para cada
, a curva de nível é um círculo de raio
no plano
. Não há pontos se
.
Passo 4
As seções pelos planos coordenados confirmam o formato cônico. Por exemplo, em
temos
que são duas retas com inclinação
, encontrando–se no vértice em
. O mesmo ocorre para a seção em
.
Passo 5
Com curvas de nível circulares e seções lineares, o gráfico é exatamente um cone circular reto com vértice na origem, voltado para baixo, abrindo–se com “ângulo de
” em relação ao plano
.
Resposta
A superfície é um cone circular reto invertido, de vértice em
e geratrizes formando ângulo de
com o plano
.