Calcule a integral imprópria:
integral2^infty 1x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral imprópria, que é uma integral onde um dos limites é infinito. Aqui, estamos lidando com o tópico de Cálculo Integral, especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites quando o intervalo da integral se estende até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
integral2^infty 1x^3 , dx
Como o limite superior é infinito, isso torna a integral imprópria. Para resolver, substituímos o infinito por uma variável, digamos b , e depois calculamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty integral2^b 1x^3 , dx

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de 1x^3 . Sabemos que 1x^3 = x^-3 . A antiderivada de x^n é x^n+1n+1 , desde que n neq -1 .
Aplicando isso:
integral x^-3 , dx = x^-3+1-3+1 + C = x^-2-2 + C = -12x^2 + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração 2 e b :
[ -12x^2 ]2^b = -12b^2 - ( -12 cdot 2^2 ) = -12b^2 + 18
Agora, calculamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( -12b^2 + 18 ) = 0 + 18 = 18

Resposta

A integral imprópria é igual a 18 .

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